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können kürzer sagen, daß bei unserer Projektion jeder Fläche M^ des Bü- 

 schels 2 eine Gerade m des Strahlenbüschcls mit dem Scheitel Q eindeutig 

 zugehört. Die Grerade m ist die Verbindungsgerade der Punkte M, M\ 

 Es wird dann unserer Involution J* der Flächenquadrupel A^, B^, C", D* im 

 Flächenbüschel 27 eine Involution 4. Grades der Strahlenquadrupel 

 a, b, c, d im Strahlenbüschel mit dem Scheitel Q eindeutig zugeordnet. 

 Wir können aber leicht ersehen, daß die Involution 4. Grades in dem 

 Strahlenbüschcl {Q) diejenige Involution in diesem Strahlenbüschel ist, 

 durch welche sich vom Punkte Q die Quadrupeln von konjugierten Punkten 

 auf c^ projizieren. Es ist aber aus der Theorie der dt)ppelpunkt losen ebenen 

 Kurven 3. Ordnung bekannt ,i) daß derartige Involution 4. Grades in drei 

 gewöhnliche Involutionen, welche sich gegenseitig stützen, zerfällt. Wenn 

 kl, ^2' ^3' ^A ^i^ vier Tangenten vom Punkte Q zu der Kurve c^sind, so sind 

 diese drei sich gegenseitig stützenden Strahleninvolutionen immer durch 

 folgende zwei Paare bestimmt : 



^1^2' ^3-^4; h^Z' k.k^; k^ k^, ^2-3- 



Bei unserer Projektion der Grundkurve r^ auf die Ebene « sind aber 

 wie wir oben gezeigt haben, den 4 Tangenten vom Punkte P zu der Kurve c* 

 vier Kegel des Büschels U zugeordnet. Bezeichnen wir uns diese Kegel 

 Ki^, Ka^, K32, K/. Es zerfällt also unsere Involutionen 4. Grades J* im 

 Flächenbüschel 27 in drei gevöhnliche Involutionen, welche immer durch. 

 folgende zwei Flächenpanre bestimmt sind: 



"""^^ Kj^ K/. K,2Ki^ Ki^K;^ Ki2K,2; Kj^K/-, K/K,^. 



I ; 



Wir wollen im Folgenden diese drei Involutionen als drei besondere 

 Involutionen J^, J^, J^ des Flächenbüschels Z bezeichnen. 



Diese drei Involutionen haben drei Paare von Doppelelementen, 

 wir bekommen also m jedem Büschel von flächen 2. Ordnung sechs be- 

 sondere Flächen, welche sich dreimal zu je zwei paaren. Zu diesen sechs 

 besonderen Flächen '2. Ordnung des gegebenen Flächcr.tüschels sind schon 

 mehrere Autoren auf verschiedenen Wegen gelangt. ») Insbesondere aus- 

 führhch hat sich mit ihnen //. SchröJer in seinem bekannten Buche über 

 die Raumkurven 4. Ordnung erster Species beschäftigt. H. Schröttcr defi- 

 niert diese 6 besonderen Flächen als Hyperboloide, welche unendlich viele 



1) Siehe R. Sturm: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. 

 Bd. IV. pag. 158. 



*) Laguerre: Sur un problème de Géométrie relatif aux courbes gauches 

 du quatrième ordre. Journal de mathématiques. II série, tome XV, pag. 193, — 

 A. Voss: Die Liniengeometrie in ihrer Anwendung auf die Flächen zweiten Grades 

 Mathematische Annalen. X. Band. pag. 177. A. Harnack: a. a. O. siehe die Seite 74 der 

 zitierten Abhandlung. — A. Ameseder: Über Konfigurationen auf der Raumkurve 

 vierter Ordnung erster Species. Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der 

 Wissenschaften Bd. 87. II. Abtheilung pag. 1194. 



