61 



(4) 



E, = A^ 



+ ^,14 {^V2) + ^J5 M ^- ^Az,i + zZi,i 



— EA 



t = i 



3, I + 3 



î^2, • H~ .^23 







^56 (''21) + ^61 (^22' + Aj^^ (r.,.,) + E Az,i + -i r,, 



i = l 



— 2: Ai,i + 'i rs, < + /Igi = 



3 



^3 = --456 Ki) + A^^ (r,2) + .4,5 (T33) + 2: ^1,, 



i 1 



'64 

 3 



+ 3 ^2.» 



^ A-z, t + 3 1^1, » + ^12 



t = l 



OU 



(5) 



Aik = {ûi + s,i ak + s,i), 

 ^i + 3, A + 3 = {ciii 0*4) > 



A{ + 3, ^= {ßi, 1 ßk + 3,i) Ak, i + 3 



{i,k = 1,2,3) 



et [zik) désigne le mineur adjoint à t^ä dans le déterminant \rik\ {i, ^ = 1, 2, 3). 



Les équations (5) définissent les 36 nombres entiers A^^.v (^, v = 1 , 

 2, 3, 4, 5, 6) qui, à cause de A^,,y = — Ay,f„ A^,^, = 0, forment un tableau 

 pseudosymmétrique de rang 2. 



Alors le système adjoint de relations singulières est identiquement 

 nul, c'est-à-dire, le système (4) est exceptionnel.^) Inversement, étant donné 

 un système exceptionnel de relations singulières, on peut parvenir à ce que 

 le système adjoint soit identiquement nul .^) Or, le rang du tableau |l-<4/,vIl, 

 (fi, V = 1, 2, 3, 4, 5, 6) étant 2, on peut déterminer 12 nombres entiers 

 ciux, a^i (/* = 1, 2, 3, 4, 5, 6) de sorte que les équations (5j soient satis- 

 faites.*) En substituant ces nombres dans les équations (3) on trouvera que 

 le rang du tableau de ces équations soit égale exactement à 4, Donc les 

 équations (3) n'on qu'une solution indépendante a/^^ «2^^^, «/^ 1, Tu. 

 Il en suit le 



Théorème: Pour que f = se réduise par une substitution {1} 

 à une courbe de genre 1, il faut et il suffit que les périodes r«* satisfassent 

 à un système exceptionnel de relations singulières. 



Pour le calcul des «^1, a^4, on peut trouver 20 équations linéaires 

 à 6 inconnues, dont il n'y a que 4 linéairement distinctes. On auia alors 



(6) 



^ = ], 2, 3, 4, 5, 6 



2) H u mb e rt - L é V y. Sur les fonctions abéliennes singulières de trois 

 variables, Comptes rendus, t. 15S, p. 1609—1616. J'appelfe le système 

 adjoint celui désigné par Humbert-Lévy E^ = 0, £/ = 0, E^" = 0. Ses coefficients 

 sont les coefficients de ^^»vdans le développement du pfaffian (12 3 4 5 6) suivant 

 les éléments d'une ligne du tableau pseudosymmétrique ||^/<v!|, (/*,»= 1, 2, 3, 4, 5, 6). 



3) Humbert-Lévy, cit., l'art. 4. Nous le supposerons toujours dans ce que 

 va suivre. 



*) Frobenius, Journal für Mathematik (Grelle), t. 86, p. 154—155. 



