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en désignant par || a;,^|| (h = 1, 4) le tableau des solutions fondamentalles 

 de ces équations.^) Les nombres entiers Uh,i {h, / = 1, 4) ne sont liés que 

 par la relation ihiU^ — «i4%i = d:^; ^ est le p. g. c. d. de tous les 

 nombres Afi^- 



Le nombre entier 



(«U ^m) + («21 %4) + (^31 «ei) = Ai + -425 + ^3« = -^ 



est différent de zéro.^) On en déduit, qu'il est impossible, que les périodes 

 des intégrales abéliencs de genre 3 satisfassent à un système exceptionnel 

 de relations singulières, dont le système adjoint soit identiquement nul et 

 M = 0. Si nous avions de telles intégrales abéliennes, tous les coefficients 

 des relations singulières correspondantes devraient s'annuler. 



On en conclut, en désignant par (î'i «2 • . • i2v) un pfaffian d'ordre v 

 formé des éléments du tableau ||^/,,„1|, (ft, v = 1, 2, 3, 4, 5, 6) et Ä' = 

 = (1 2 3 4 5 6), L = (1 2 4 5) + (2 3 5 6) + (3 1 6 4), que dans le cas du 

 système exceptionnel de relations singulières le polynôme K-\- L x — M x^ — x^ 

 a une racine double et vice versa. 



2. Remarquons, que dans ce qui va suivre doit ft, v = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; 

 r, s = 2, 3, 5, 6; *, i^ = 1, 2, 3. 



On peut trouver un tableau (91) || ans || de 6x4 nombres entiers 

 satisfaisant aux équations 



(7) [Uy, «4,.) + (Ö2(* ^iv) + [Clii^ «6,.) = M . £„„ 



où s^v désigne + 1, • — 1, ou 0, suivant que v — n est égal à + 3, — 3 

 ou n'est pas divisible par 3. 



Considérons la transformation des intégrales abéliennes 



(8) 



öa<*' = aui + aÄ4 jBjj + ak^ Bi2 + ak^ Bi^ 



b^'Hk^ + b.^'^Xkç;, + b^'Hk^ = «Ä + g.i + «A4. 3, 4^*1 + ßA+3,5 .ßi2 + «Ä+3-6 -0*3 



Bik =Bh- 



Les équations (8) n'ont qu'une solution indépendante. Après les avoir 

 comparés aux équations (3), on trouve que cette solution est 



6,(2) = a«(-), 0^(3) = ak^^), B,, = T^., , B^s = To, , ^33 = Tgs , 



où %<^), a.^^^\ a^^\ l,Tii ^^^ 1^ solution des équations (3). C'est-à-dire, 

 chacune des intégrales 



*) Le terme ,, solutions fondamentalles" est usé ici dans le sens défini par 

 J. St. Smith, Coll. Math. Papers, vol. 1, p. 372. 



•) Krazer, Lehrb. d. Thetafunktionen p. 470, (10). On peut même supposer 

 M > 0. Dans le cas contraire on peut revenir sur ce cas, en multipliant les équa- 

 tions (4) par — 1. 



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