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tetraeder gemeinsam haben. Derartige Punktgruppen werden wir als die 

 Gruppen von 8 in Bezug auf ein gegebenes Tetraeder assoziierten Gruppen 

 bezeichnen. 



1. Über die Gruppe von 8 in Bezug auf ein gegebenes Tetraeder 

 assoziierten Punkten und über die damit zusammenhängende 



Transformationsgruppe. 



Betrachten wir ein belieliges Tetraeder J und einen belieligen 

 Punkt Pj. Führen wir durch diesen Punkt drei Transversalen zu den drei 

 Gegenkantenpaaren des Tetraeders und konstruieren wir auf diesen Tnms- 

 versalen die Punkte Pg, P3, P4, welche die Eigenschaft haben, daß sie 

 vom Punkte Pj immer durch die zwei Schnittpunkte auf den Kanten des 

 Tetraeders harmonisch geteilt sind. Wenn die homogenen Koordinaten 

 des Punktes P^: 



sind, und wenn das Tetraeder à das Fundamentaltetraeder des Koordi- 

 natensystemes ist, so sind: 





'1 



X, 



Xo • Xq . x^ 

 ^2 ■ ^3 • ^4 



die Koordinaten der Punkte P^, P3 und P4. 



Weiter konstruieren wir die Punkte P5, Pg, P,, Pg auf die Weise, 

 daß wir den Punkt P^ immer mit einem Scheitel des Tetraeders J ver- 

 binden und auf der so gewonnenen Verbindungsgeraden immer den Punkt 

 konstruieren, der von dem Punkte P^ durch den Scheitel des Tetraeders 

 und den Schnittpunkt der gegenüt erliegenden Tetraederebene harmonisch 

 geteilt ist. Es werden dann die Punkte P5, Pg, P7, Pg die folgenden Ko- 

 ordinaten haben: 



1 ' 2 * 3 ' 4 

 X-t . X<) • ~ ^3 • X 4 

 X^ '. X2 • X^ ' X^ 

 Xt ' Xo • -^3 • x,^. 



Wir sehen also, daß wir auf dieselle Weise, auf welche wir von dem 

 Punkte Pj zu den übrigen sieben Punkten gekommen sind, auch von 

 jedem beliebigen Punkte von diesen zu den übrigen gelangen können. 

 Wir wollen dann die Gruppe von derartigen 8 Punkten als Gruppe von 

 8 in Bezug auf ein gegebenes Tetraeder assoziierten Punkten bezeichnen. 

 Transformationen, welche von einem gegebenen Punkte zu der Gruppe 

 von 8 assoziierten Punkten führen, sind drei gescharte Involutionen, deren 

 Achsen immer zwei Gegenkanten des Tetraeders J sind, und vier per- 



Bulletin international. XXII. 



