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2. Über die achtgliedrige Transformationsgruppe der 8 assoziierten 

 Gruppen von assoziierten Punkten in Bezug auf ein gegebenes 



Tetraeder. 



Betrachten wir folgende acht eineindeutige Transformationen der 

 Gruppe von acht in Bezug auf das Koordinatentetraeder assoziierten 

 Punkten: 



+ x-i : + ^2 '■ + x^ : + Xs ^ + x-i : + x^ '■ + x^ : + x^ (T^) 



{Tu 

 {Te) 

 (T,) 

 = + ix-^^ : + x^ : + % : ±_x^ (Tg) 



Es ist klar, daß unsere 8 Transformationen Tj, Tg, .... Tg eine Trans- 

 formationsgruppe bilden. Einheitselement dieser Gruppe ist die identische 

 Transformation T^. Bezeichnen wir uns diese Gruppe Gg. Wir sehen, daß 

 die vier Transformationen T-^ T^ T^ T^ wieder eine Gmppe bilden, es sei 

 das die Gruppe G^. Es ist also die Gruppe G^ Untergruppe von der Gruppe 

 Gg. Weiter sehen wir, daß die Gruppe Gg und die Gruppe gg holoedrisch 

 isomorph sind. 



Studieren wir jetzt die geometrische Bedeutung der Transforma- 

 tionsgruppen Gg und G4. 



Es sei S^ die Gruppe der acht in Bezug auf ^ assoziierten Punkten: 

 ±Xj^:+X2:±x^:±x^ und es seien S^, S^. . . S^ die Punktgruppen, in 

 welche die Gruppe Sj durch die Transformationen T^^, T^ . . .T^ übergeht. 

 Die Transformationen To» T^, T^ führen die Punktgruppe S^ in die Punkt- 

 gruppen Sg, Sg, S4 auf folgende Weise über: Führen wir durch die Punkte 

 der Punktgruppe S^ Transversalen zu einem Gegenkantenpaare des Te- 

 traeders ^. Weil auf jeder derartigen Transversale immer zwei Punkte 

 der Punktgruppe 5^ liegen, so existieren insgesamt vier solche Trans- 

 verselen, Wenn wir jetzt auf jeder von unseren vier Transversalen zwei 

 Punkte konstruieren, welche gleichzeitig zwei Punkte der Gruppe Sj 

 und zwei Punkte auf dem Gegenkantenpaare harmonisch teilen, so bekom- 

 men wir schon acht Punkte der Gruppe Sg, S^ oder S4, je nach dem, zu 

 welchem Gegenkantenpaare des Tetraeders J wir die Transversalen ge- 

 führt haben. Das ist die geometrische Bedeutung der Transformationen 



-'2» -^ 3> -^ 4- 



Studieren wir jetzt die geometrische Bedeutung der Transforma- 

 tionen Tg, Tq, T7, Tg. Verbinden wir eine Ecke des Tetraeders J mit den 

 Punkten der Punktgruppe 5^. Es existieren vier derartige Verbindungs- 



