69 

 und die Flächengruppe: 



Es ist sehr leicht einzusehen, daß jede von diesen Veiden Flächen- 

 gruppen gegen die Transformationen der Untergruppe G^ invariant ist. 

 Zu derartiger viergliedrigen Flächengruppe werden wir geometrisch auf 

 folgende Weise gelangen. Betrachten wir eine beliebige Fläche 2. Grades 

 A^ und ein von ihren Polartetraedern ^. Konstruieren wir jetzt auf allen 

 00^ Transversalen eines Gegenka.ntenpaares des Tetr^ieders J die Punkte- 

 paare, welche gleichzeitig die zwei Punkte auf der Fläche A"^ und die beiden 

 Punkte auf den Gegenkanten harmonisch teilen. Die so gewonnenen 

 Punktepaare liegen dann auf einer Fläche 2. Gn-^ des B"^. Auf ganz dieselbe 

 Weise führen die leiden anderen Gegenkantenpaa.re des Tetraeders ^ 

 zu den Flächen C^ und D"^. Die vier Flächen A^, B^, C^, D^ bilden dann 

 eine invariante Flächengruppe in Bezug auf die Transformationsgruppe G4. 



Wir wollen jetzt derartige Konfiguration von 4 Flächen 2. Grades 

 als die Konfiguration von 4 in Bezug auf das gegebene Tetraeder harmo- 

 nischen Flächen 2. Grades bezeichnen. 



Es ist sehr leicht zu zeigen, daß je zwei Flächen von derartiger 

 viergliedrigen Flächengruppe sich bloß in den Geraden schneiden. Es 

 seien : 



m„ x^ + niß Xß^ + Wj, Xy^ -f nig xs^ = 



f^a ^a + ^'^/« ^/ ^^r ^/ — '^'^^ ^^ = ^ 



zwei Flächen von unserer Flächengruppe. Der Büschel 21 von Flächen 

 2. Grades, den diese zwei Flächen bestimmen, hat die Gleichung: 



^^a^^ + Wis V + ^"r V + "'«S'^''" + ^ (Wa^t„2 + mß V —Uly x^ — m,^ x,^^) = 0. 



Für die Werte: 



A = 1 und A = — 1 



bekommen wir zwei spezielle Flächen des Büschels: 



)iiyXy^ + niäXs^ — 0. 



Das sind aber zwei Ebenenpaare, welche ihre Achsen in den Kanten eines 

 Gegenkantenpaares des T-etraeders ^ haben. Es ist damit also der fol- 

 gende Satz bewiesen worden: 



Zwei beliebige Flächen der Konfiguration von 4 harmonischen Flächen 

 2. Grades schneiden sich bloß in den Geraden. 



