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Considérons l'inégalité évidente 



pk+\ -> />ft + 2 



pk pk 



et l'inégalité de Cebysev 



Pk < 2 pk-i ; 

 nous voyons que au lieu de (6a), on peut écrire 



2 pk-i . g / Pk-i 4- 1 Y^i 

 G ^V Pk-i ) ' 



Cette 'inégalité et l'inégalité (3a) admettent la, solution 



<y= 1 pk-i logpk-i, 



pk-i> 11 



pour la quelle a fortiori a lieu l'inégalité (6a). 

 En substituant 



s = 2 m, [m entier) 



ê (2 m) = 



{■J m) ! 

 on obtient enfin l'équation (6b) sous la forme 



Pi = E \(2 m + 1) (2 m + 2) 1 . f — ^ — - 



.. .(i — '^^^'"-^) — (2 w— 2)!J ^' 



/)ä_i > 1 1 , m > o-ô ^ft_i /og pk-i, 



où ßm, -Bm+i sont les nombres bien connus de Bernoulli. 



Étant donnés les nombres premiers pi, p^, . . . pb-\ d'indice plus 

 petit que k, on peut, au moye de la formule (7), calculer le nombre pre- 

 mier ptt. 



