über einen Steinerschen Satz, die Krümmungs- 

 kreise eines Kegelschnittes betreffend und einige 

 Beziehungen desselben zum Normalenproblem. 



J. SOBOTKA. 



(Mit 7 Figuren im Text.) 



1, Es soll sich hier zuerst um den von Steiner in folgender Form 

 aufgestellten Satz handeln: 



„Durch jeden Punkt D einer Ellipse gehen drei Krümmungskreise 

 der letzteren, welche in irgend drei anderen Punkten A, B, C oskulieren; 

 und jedesmal liegen die vier Punkte A, B, C, D in einem Kreise." 



Diesen und andere damit zusammenhängende Sätze und Beziehungen 

 hat Steiner ohne Beweis in Grelles Journal. im J. 1845 veröffentlicht.*) 



Den ersten Beweis dieses Satzes und seinen Zusammenhang mit dem 

 Normalenproblem gab in einer kurzen, jedoch bemerkenswerten Arbeit 

 F. Joachimsthal in demselben Journal im J. 1848. Wir wollen hier zunächst 

 diesen Satz in Betracht nehmen und die bekannte Tatsache bemerken, 

 daß er natürlich auch für Hyperbeln gilt, während er für Parabeln eine 

 Ausartung erleidet. 



Es ist bekannt, daß die Symmetralen der Winkel, die durch zwei 

 Sehnen gebildet werden, welche die Schnittpunkte eines Kreises mit einem 

 Kegelschnitt s verbinden, parallel den Achsen des Kegelschnittes sind. 

 Oskuliert also ein Kreis m^ den Kegelschnitt s im Punkte Mj und schneidet 

 hn noch im Punkte M, so ist hiernach die Gerade M-^ M zu der Tangente 

 1 in Ml an s antiparallel inbezug auf die Achsen von s. 



Auf s entsteht also eine einfache Punktverwandtschaft, in der jedem 

 Punkte Mj derjenige Punkt M zugeordnet wird, in welchem die zu dei 

 Tangente t^ von s in M^ durch M^ gezogene AntiparaUele inbezug auf 

 •die Kegelschnittachsen den Kegelschnitt noch einmal schneidet. Diese 

 Verwandtschaft liefert uns einfach die Beziehungen des angeführten Satzes. 



Cf. Jakob Steiners Gesammelte Werke, II. Bd. S. 377. 



