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Es sei s zunächst eine Parabel, t' sei ihre zu t^ inbezug auf die Parabel- 

 achse X symmetrisch liegende Tangente, M' deren Berührungspunkt. 

 Die Parallele durch M' zu x schneidet t^ im Pole T der Geraden M^ M 

 und Ml M selbst schneide sie im Punkte M^. Es ist M^M = M^Mq-, trifft 

 nun Ml M die Achse x im Punkte M^ so ist deshalb M. M = 3 . Mi M*. 

 Daraus folgt, daß auf s die Reihe der Punkte M zu der Reihe von 

 Punkten M^ projektiv ist, wobei der Scheitel der Parabel und der un- 

 endlich ferne Punkt ihrer Achse die Doppelpunkte sind. Es geht also 

 durch jeden Punkt M einer Parabel ein einziger Kreis, welcher dieselbe in 

 einem andi-ren Punkte oskuHert. 



2. Es sei (Fig. 1) s ein zentrischer Kegelschnitt. Wir betrachten 

 das System der Kreise d, welche durch einen festen Punkt D dieses 

 Kegelschnittes gehen und ihn berühren. Ist A^ der Berührungspunkt 

 und Dq der noch, vorkommende Schnittpunkt dieses Kreises mit s, 

 so. ist die Tangente «i von s in A^ zu D Dq antiparallel bezüglich 

 der Kegelschnittachsen. Ermitteln wir also zu D Dq den konjugierten 

 Durchmesser / und zu diesem den inbezug auf die Kegelschnittachsen 

 symmetrisch gelegenen Durchmesser V , so schneidet dieser den Kegel- 

 schnitt s in den Punkten A^, A^ von der Lage, daß die Tangenten 

 in ihnen an s zu Z) Dq inbezug auf die Achsen von s antiparallel sind. 

 Die Kreise durch D, Dq, A^ und D, Dq, A^ sind Berührungskreise von s. 

 Wir sehen, daß in dieser Weise jedem Strahl D Dq durch D projektiv ein 

 Durchmesser /' von s entspricht von der Eigenschaft, daß die durch den 

 festen Punkt D gehenden Kreise, welche sin seinen Endpunkten berühren, 

 sich in Dq auf s schneiden. 



Bewegt sich Dq auf s, so beschreibt D Dq einen Strahlenbüschel [D) 

 und l' einen zu ihm projektiven Strahlenbüschel {l'), während das Punkte- 

 paar ^1 A^ eine zu der Reihe der Punkte Dq projektive Involution be- 

 schreibt. Der Durchmesser l beschreibt einen zu beiden Büscheln pro- 

 jektiven Strahlenbüschel {/). 



Die Büschel {D), {l) erzeugen einen Kegelschnitt s^, welcher s in D 

 berührt, durch den Mittelpunkt von s geht und zu s ähnlich liegt, also 

 D zum Durchmesser hat ; er geht auch durch die Fußpunkte D' , D" der 

 Senkrechten, welche von JD auf die Achsen x,y des Kegelschnittes s gefällt 

 werden, so daß D und D' D" sich in dem Mittelpunkte Oj von Si schneiden. 

 Die Büschel (D) , [l') erzeugen gleichfalls einen Kegelschnitt s' welcher 

 durch die Punkte D, 0, D' , D" geht und somit den Punkt Oy gleichfalls zum 

 Mittelpunkte hat. Die Tangenten t', t" von s' in den Punkten D und 

 sind zur Tangente Hn D an s inbezug auf die Achsen x, y antiparallel. 

 Schneidet irgend ein Strahl von [D) die G.Taden x, y in X, Y und die Kegel- 

 schnitte s' Si in P, Si, so ist (X YPSi) = — 1. Daraus folgt, daß die 

 unendlich fernen Punkte von s' inbezug auf s, und umgekehrt die von Si 

 inbezug auf s' konjugiert sind. Um dies einzusehen, braucht man, wenn 

 s eine Ellipse ist, nur durch D die Parallele zu einem der inbezug auf x, y 



