13.5 



Die Scheitelpunkte von Sy sind die Hauptkrümmungsmittelpunktc 

 von s. Der Punkt D^j beschreibt die Fußpunktkurve / des Kegelschnittes 

 s für den Mittelpunkt als Pol. Die Relationen (5) besagen, daß Sy und / 

 zueinander invers sind inbezug auf die mit s konzentrischen Kreise v und v' 

 vom Halbmesser e, bzw. ie. 



Dieses Ergebnis hätten wir auch auf einem mehr geometrischen 

 Wege ableiten können. Es sei n die zu n unendHch benachbarte Normale 

 von s und D, Z)«, N^, N^, N, N" die mit ihr zusammenhängenden Punkte, 

 welche den früheren Punkten D, Do, , N-^, N^, N, N" analog sind. Die 

 Geraden x,y, t, wsind Tangenten einer Parabel, welche ^nndem dm Punkte 

 D zugehörigen Krümmungsmittelpunkte {n. n) von s berührt. D ist die 

 Leitgerade der Parabel und N N ist die Polare von inbezug auf sie als 

 die Achse der Projektivität zwischen den ähnlichen Punktreihen h\, N^. . .; 



iVg, N^, auf X und y. Da auf der Leitgerade der Parabel liegt, so 



ist der Fußpunkt der Senkrechten g von auf A^ A'' der Brennpunkt der 

 Parabel und die Geraden g, D liegen zu einander symmetrisch bezüglich 

 der zueinander senkrechten Tangenten x, y der Parabel. Daraus folgt, 

 daß OD ± N" N". Es steht also die Tangente g" in N" an s^, senkrecht 

 auf D. Die Normale in D^, an die Kurve / ist, wie bekannt, Oj D« . Folg- 

 lich bilden die Tangenten in N" an Sy und in D^o an / ein gleichschenk- 

 liges Dreieck über Z>„ N" als Grundlinie und die Punkte N"j_N", D^, 

 Daliegen auf einetu Kreise. Es ist also ON". D„ =0 N"^ODo,, 

 und da dies für jede zwei unendlich benachbarten Strahlen N"', N" gilt, 

 so sind Sy und / invers. Fällt D in einen Hauptscheitel, so ist D^, ^ D und 

 A^" ist ein Hauptkrümmungsmittelpunkt, so daß hier N". D^, = — e'-. 

 Dies gibt also die vorher erwähnte Inversion beider Kurven. 



6. Zwischen den Punkten D und den Oskulationspunkten A, B, C 

 der drei durch D gehenden Krümmungskreise besteht eine (1, 3)deutige 

 Verwandtschaft, also eine Projektivität der Punktreihe [D) mit cimr 

 kubischen Involution {ABC). Es umhüllen also alle Dreiecke ABC, 

 welche die Tripel dieser Involution verbinden, einen Kegelschnitt s* 

 Wählen wir D unendlich fern auf s, dann ist D ^ r eine Asymptote von 

 s ; r' sei die zweite ; die Normale n'm D fällt hier mit der unendHch fernen 

 Geraden der Ebene zusammen, während % in den zu /senkrechten Durch- 

 messer von s übergeht. Der Kreis k, welcher die Punkte D, A, B, C ver- 

 bindet, zerfällt, da sein Mittelpunkt K unendlich fern auf % liegt und 

 da er u orthogonal schneidet, in die Asymptote r' und die unendlich ferne 

 Gerade u^ der Ebene. Dieser degenerierte Kreis schneidet nun s außer 

 im Punkte D in drei Punkten, die sich alle in dem unendlich fernen Punkte 

 von r' vereinigen. In jedem unendlich fernen Punkte von s sind hiernach 

 die Punkte je eines Tripels unserer Involution vereinigt. Diese ist also 

 eine zyklische Projektivität, welche die unendlich fernen Punkte von s 

 zu Doppelpunkten hat. 



