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Die Kegelschnitte (P) hat für s als Ellipse bereits Eckardt in einer 

 analytischen Abhandlung (Schlömilchs Zeitschr. f. M. u. Ph. 1873) erkannt 

 und die hier abgeleiteten Eigenschaften wurden teilweise neben den bereits 

 angeführten auch noch von anderen Autoren in verschiedenen Zusam- 

 menhängen und Behandlungsformen betrachtet, so von Emil Weyr in 

 Schlömilchs „Zeitschrift", IG. Bd., insbesondere auch von K. Zahradnik, 

 über dessen diesbezügliche Arbeiten in dem kurz erschienenen Bulletin 

 des travaux . . . pour les années 1867 — 1914 der Südslavischen Akademie 

 d. Wissensch. näher berichtet wird. 



12. Unsere Betrachtungen stehen in naher Beziehung mit der allge- 

 meinen Lösung des Normalenproblems für einen vollkommen gegebenen 

 Kegelschnitt s, welche ja auch von Joachimsthal herrührt und außer dem 

 Kegelschnitt nur Gerade und Kreise verwendet. 



Es sei in der Ebene von s eine beliebige Gerade g gegeben. Wir 

 können eine Verwandtschaft der Punktreihen auf s und g in der Art her- 

 stellen, daß wir jedem Punkte Ni von s den Schnittpunkt N der Normale in 

 Ni an s mit g zuordnen und rnngekehrt ordnen wir irgend einem Punkte N 

 von g die Fußpunkte Ni (i = 1 , . . 4) der von N an s ausstrahlenden 

 Normalen. Dadurch gelangen wir zu einer Verwandtschaft (4, 1), also zu 

 einer Punktinvolution 4. Grades auf s, welche zu der Punktreihe auf g 

 projektiv ist. Die Involution auf s kann man auch durch einen Kegel- 

 schnittbüschel einschneiden, indem wir durch zwei Gruppen derselben 

 zwei beliebige Kegelschnitte legen, welche einen Büschel 2j bestimmen. 

 Alsdann liegt jede Gruppe der Involution auf einem Elemente dieses Büschels, 

 welcher mit der Punktreihe auf g gleichfalls projektiv ist. 



Durch die Gruppen, welche den Schnittpunkten von g mit den 

 Achsen des Kegelschnittes s entsprechen, kann man Geradenpaare legen, 

 deren je eine Gerade mit einer Achse von s zusammenfällt. Alsdann sind 

 der Mittelpunkt von s und der auf g liegende Pol Q für die zu g inbezug 

 auf s normalkonjugierte Gerade, sowie die unendlich fernen Achsenpunkte 

 von s, als die Schnittpunkte der Elemente des einen Geradenpaares mit 

 den des anderen, die Grundpunkte des Büschels. Der dem unendlich fernen 

 Punkt von g zugehörige Kegelschnitt des Büschels zerfäUt in die un- 

 endlich ferne Gerade der Ebene und den Durchmesser Q von s, welcher 

 zu der auf g senkrechten Richtung inbezug auf s konjugiert ist. Der jedem 

 anderen Punkt G von g zugehörige Kegelschnitt des Büschels ist alsdann 

 die zu G gehörige Apollonische Hyperbel. Daß dieselbe durch den Punkt 

 G selbst geht, sehen wir aus der Projektivität des Büschels Z! mit der 

 Reihe der Punkte G auf der durch den Grundpunk t (J des Büschels gehen- 

 den Geraden g. Es fallen auf ihr die von Q verschiedenen Schnittpunkti' 

 der drei degenerierenden Kegelschnitte in U mit den entsprechenden 

 Punkten G zusammen ; es gilt dies also für jeden Kegelschnitt von £. 

 So gelangen wir zu der altberühmten Lösung des Normalenproblems, zu 

 der auf analogem Wege auch schon Em. Weyr in einer Arbeit aus dem 



