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Punkt S auf ihm wählen, in einer Punktinvolution /i, welche mit /a 

 gleichfalls projektiv ist. 



Legen wir durch zwei Quadrupel von J^ zwei Kegelschnitte ki, k^, 

 so legen diese einen Büschel (k) fest. Jedes Element von (k) schneidet 

 alsdann s in den vier Punkten einer Gruppe von Jt^, ihm entspricht ein 

 Punktepaar G^yG^ in /aund diese Involution ist mit {k) wieder projektiv. 



Nehmen wir als 5 einen Scheitel des gegebenen Ki^gelschnittes an, so 

 entspricht dem Doppelpunkte von J^ ein Quadrupel von J^, dessen zwei 

 Punkte in dem Scheitel 5, die zwei übrigen Punkte in dem zu S diametral 

 gegenüberliegenden Scheitel 5i vereinigt sind. Der über SSjals Durchmesser 

 gelegte Scheitelkreis enthält somit alle vier Punkte dieses Quadrupels; 

 wir können ihn als den Kegelschnitt k^ annehmen. Dem unendlich fernen 

 Punkte Gcc von g entspricht in J^ ein Quadrupel, dessen zwei Punkte in 

 dem Schnitte T von s mit der von 5 auf g errichteten Senkrechten zusam- 

 menfallen, während die übrigen zwei die unendlich fernen Punkte von s 

 sind. Die Tangente t in T an s bildet mit der unendlich fernen Geraden 

 woo einen zerfallenden Kegelschnitt, welcher die Punkte des zweiten 

 Quadrupels verbindet und den wir als k^ annehmen. Der durch ki und k^ 

 bestimmte Kegelschnittbüschel ist also ein Kreisbüschel, welcher t zur 

 Potenzlinie hat. Es liegen also die Punkte irgend eines Quadrupels von 

 /4 auf einem Kreise dieses Büschels. Dies gibt also den bekannten von 

 Joachimsthal herrührenden Satz: 



„Fällt man von einem Scheitel 5 eines Kegelschnittes s auf die vier 

 Normalen desselben, die von irgend einem Punkte seiner Ebene gehen, 

 die Senkrechten, so läßt sich durch deren Schnittpunkte mit dem Kegel- 

 schnitt s ein Kreis legen." 



16. Wir wollen (Fig. 7) jetzt den Punkt 5 beliebig auf dem Kegelschnitt 

 s annehmen. Dieser Punkt S führt wieder in gleicher Weise zu einer Invo- 

 lution Ji auf s. Die Punkte jeder Gruppe derselben sind Schnittpunkte 

 mit s der Senkrechten zu den Normalen von s, die von einem Punkte g 

 auf g ausgehen. Es sei S' der zu 5 symmetrisch liegende Punkt inbezug 

 auf eine Achse von s und M sei ein Scheitelpunkt auf dieser Achse. Die 

 Involution /i projiziert sich in der Richtung S' M auf s wieder in eine 

 biquadratische Involution J^*. Dem Punkte von g entspricht ein Quadru- 

 pel in /4, von dem zweimal zwtI Punkte in den Endpunkten dos Durch- 

 messers S' vereinigt sind und die sich in die Endpunkte der Achse MO 

 projizieren. In diesen sind also zweimal zw^ei Punkte einer Gruppe 

 von 74* vereinigt. Der zugehörige Scheitelkreis k^* von s enthält die 

 letztgenannten Punkte, verbindet also das zu gehörige Quadrupel von 

 /4*. Dem unendlich fernen Punkt G» von g entsprechen in J^ der Schnitt- 

 punkt T von s mit dem von S auf g gefällten Lot, sein unendlich benach- 

 barter Punkt und die unendlich fernen Punkte von s. In 74 ♦ entsprechen 

 dem Punkte Goo der Schnitt T* von 5 mit der durch T zu S' M ge- 

 zogenen Parallelen, sein unendlich benachbarter Punkt auf s und glcich- 



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