Sur les racines rationnelles du polynôme 



qui figure dans la théorie des fonctions abéliennes 

 singulières de trois variables.') 



Par Dr. VACLAV HRUSKA, 



assistant pour les mathématiques à l'Ecole polytechnique tchèque de Prague. 



Entendons dans ce qui va suivre par ft, v, ^, (7 -= 1, 2, 3, 4, 5, (i; 

 r, s = 2, 3, 5, G; i, k = l, 2, 3. 



1. Soient données des fonctions abéliennes singulières, dont les 

 périodes satisfont aux relations suivantes: 



8 3 



Ei-^A.^(.[t^^) +A^^{t^.,) +.445(Ti.j) +2: A2,i + sTs^i-~-2] Ai^i + sT-yj+An^ = 



3 3 



(1) \ E. = -456 (Toi) +-464 (r.,) +^-^45 (■^23) +^A3,i+sTi,i~2JAi i+zrs,i+A^, = 



i=i 1=1 



3 3 



E.s-^A,^{T.,,)+A,^^{t.,.;)+A^,^{T^o)+UA,j+sr2,i'-2^A2,i+sri,i+A,, = 



j=j i=i 



Afiv ^ — Avj:,, J/,,^t = U étant des nombres entiers. Soit («1 ^'2 • • • ^'2 *'' 

 un pfaffien^) d'ordre h formé des éléments de la matrice Ih^u»- Il c^t 

 K = (123456), L = (1245) + (2356) + (3164), M = (14) + (25) + (36), 



/ = 3L + M2, J = 27/1 — 9 ML — 2 ilP, A = /i — -^ 



P {X) = K + LX — M A2 — A3 = -^ + -i ft — fi3 = ZZ (fi). 



Toutes les racines de l'équation P(A) == Il (ft) = sont réelles.^) Si 

 7I(fi) = a une racine rationnelle, on peut parvenir à ce que la racine 



^) Je conserve dans cette note la notation usée dans ma note ,,Sur les relations 

 parmi les périodes des intégrales abéliennes dégénérées de genre 3." Bulletin inter- 

 national de l'Académie des Sciences de Prrguc, 1918. 



2) G. Kowalewski, Einführung in die Dctcrminantenthccrie. 



3) "Voir mon mémoire ,,0 systémech singulàrnich relaci mezi periodami 

 Abclovych funkci tri promënnych", Casopis pro pëstovâni malhcmatiky a fysiky, 

 t. 48. Praha 1919 



