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correspondante de l'équation P{X) = soit égale à 0. Il faut distinguer 

 les cas suivants: 



2. Si n (fi) ==0 a une racine triple (et alors rationnelle), on peut 

 supposer que P(l) ait la racine triple A = 0, c'est-à-dire K ^ L = M = 0. 

 Dans ce cas le système (1) est exceptionnel, le rang de la matrice i| Afiv \\ 

 est 2 et M = 0. Il est connu*) que dans ce cas tous les coefficients dans 

 les relations (1) sont identiquemen*: nul et les fonctions abéliennes sont 

 générales (non singulières). 



3. Si IIi(i) = a une racine double, on peut faire de façon que 

 P{X) = ait la racine double A = 0. Le système (1) est exceptionnel et 

 le rang de la matrice \\Afiv \\ est 2 avec M 4= 0. On peut trouver un 

 tableau des nombres entiers Wa^^ \\, qui définissent une transformation 

 non-singulière d'ordre M des périodes tjä en les périodes 2\k, de manière 

 que T-^z = ^21 = ^13 = Tr^i = ^ soit conséquence des équations 



{'') Ol Tkl -r 02. tkZi Os TkS — Ok + Z 



où 



On en conclut que les fonctions abéliennes en question dégénèrent 

 en fonctions elliptiques aux périodes 1, Tu et en fonctions abéliennes 

 de deux variables aux périodes 



Si Ton substitue dans (1) ktik les valeurs calculées des équations (2) 

 en fonction de T,- * (Tja = Tjg = 0) , les équations (1) s*annullent identi- 

 quement (pour toutes les valeurs de Tik, Tj, ^ î^is = 0). Alors 



En cas de la racine double du polynôme n{yi) les fonctions abéliennes 

 singulières dégénèrent en fonctions elliptiques et en fonctions abéliennes 

 générales {non singulières) de deux variables. 



4. Plaçons-nous dans le cas où 2Z"(fi) a une racine rationnelle simple. 

 On peut supposer K = 0, L =|= 0. Soient ^1, ^1 < e^, e^ les diviseurs élémen- 

 taires du tableau l| A^^y || . On peut trouver une matrice primitive") 

 de nombres entiers || Uq s 11 de manière qu'on ait ') 



(3) Af, y = e^ {U,i 2 Uy 6 «,,, 5 Uv 2) + ^2 (^f" 3 ■"■»'6 — W/« 6 W'r 3) . 



Outre le système (1) les Tik satisfont aussi au système adjoint^) 

 de relations singulièr'^s. 



*) Voir ,,Sur les relations . . ." déjà cité. 

 ^) Voir ,,Sur les relations ..." 



•) matrice primitive = prime matrix de J. St. Smith, Coll. math, papers, 

 vol 1., p. 368. 



») Frobenius, Journal f. IVIalh., t. 86. p. 165— 1G8. 

 *) Voir ,,Sur les relations . . ." déjà cité, note 2, 



