l^)\ 



158 



3 3 



J=l 2=1 



3 3 



E/ - K23 (ï^2l) 4- i^31 (^22) + ^^2 K-ù -^ ^ I<i, 6 ^1. i - ^ Ki, 4 »3, i - A'6,4 - «> 



»=1 i=l 



3 3 



E^' = Ko^ ir^i) + K^i (rgg) + K^ç, [t^) ^- U A",, 4 T2, i - ^ A'i. 5 i^i, » - A:4,5 = <> 



i=l j=l 



OÙ l'on entend par Kfiy pour fi < v le pfaffien, qui suit du piaffien 

 K = (12345 G) en supprimant les indices /i, v et en multipliant le résultat 

 par ( — 1) ^+"-1; on définit pour ii>v K^v = — ß'r/*, Kf,f, = 0. 



La matrice |l Kf^y \\ est, à cause de K = 0, de rang 2*) ; le système 

 (4) est alors exceptionnel. On en conclut que dans ce cas les fonctions 

 abéliennes dégénèrent en fonctions elliptiques et en fonctions abéliennes 

 de deux variables. Or, on peut trouver une certaine transformation de 

 périodes, non-singulière, d'ordre L, au tableau 1| ago \\ ^^). 



On peut ensuite calculer les Kav de deux façons différentes 



■^12 = ~ ^^12 «23 «^35 '^ee) = ^1 ^2 (^^32 «% "ss ^he) 

 /?i3 = ■ j- (aj2 a^ «36 age) -= — e^e^ (^02 ^is ^s^^ee) 



■K'u = — ^«22 ^ «55 «ee) =" ^1 ^2 1^*22 %5 ^53 ^66) 

 etc. 



dont on conclut qu'il existe 1 6 nombres entiers I| re/y s || au determinant 

 — e-i^e^L tels, que 



/er^ I «»s "= «^»+8,2 W2s + «» + 8,j 



(5) 1 



l «»+8, s = — Wt,2 W2 s — Ui, 



8 ïe'a s + W»+3, 5 î^'os + î<t+8, 6 ï^'6s 



Si l'on substitue dans les relations (1) aux A^^v les valeurs (3) et auxir< k 

 les valeurs obtenues des équations (2) où l'on a préalablement substitué 

 aux a^s les valeurs (5), on trouvera 



R __ L {a^^-\- i 11 a^^ ^ __ Q F' ^ _|_ -^ ^^21 ' -^11 <^4) gr __ Q 

 ^ V . ^2 • ' 2 . y _ ^^ 



r __ -^ (%i ~r -^ 11 «34) Mf _- A 



où V signifie le déterminant | hf \ . Or, il n'est pas possible que 

 ^11 + ^11 <hi, = «21 + jTii öf24 = «31 + T"ii «34 = 0, le cas contraire con- 

 duisant à L = ce qui est contre la supposition faite au commencement 

 de l'art. 4. On trouve alors qu'il existe parmi les périodes T» {h, j = 2, 3) 

 la relation 



8) Voir E. V. Weber, Vorles. ti. das Pfaff'sche Problem, p. 28., formule (28). 

 ") ,.Sur les relations . . ." déjà cité et art. 3 de la note présente. 



