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(6) "P^ B^ + T,,B,, + T,,iB._,-B,,) +T,,B,, + {T,,T;^-T'^) B,,^ 

 où 



Br s ^^ {Ws ,U'ts — Wtr «'3 s) H {^2 , Ws s — W'5 r^Zs) . 



La relation (6) est une relation singulières^) parmi les périodes T*. 

 Son invariant est â = e^ (M- + 4 L). 



Si n(n) a une racine rationnelle simple les fondions abéliennes singu- 

 lières de trois variables dégénèrent en fondions elliptiques et en fondions 

 abéliennes singulières de dettx variables. 



5. Si l'équation n([i) = a trois racines rationnelles distinctes, 

 on se trouve dans le cas précédent avec la condition que {M'^ + 4 L) soit 

 le carré d'un nombre entiers. Or, â étant le carré d'un nombre entiers, 

 les fonctions abéliennes singulières de deux variables dégénèrent elles- 

 mêmes en deux fonctions elliptiques. s-) 



Si n{(i) = a trois racines rationnelles distinctes les fondions abéliennes 

 singulières de trois variables dégénèrent en trois fonctions elliptiques. 



6. Si l'équation n{[i) =0 n'a aucune racine rationnelle, on trouvera 

 que les fonctions abéliennes considérées ne dégénèrent pas. On peut dire, 

 en vue du théorème général, qu'elles dégénèrent en fonctions abéliennes 

 singulières, de trois variables et en fonctions abéliennes de variables, 

 entendu par cela une constante. Le résumé de la note présente est alors. 



Si l'équation n{(i) = est réductible dans le corps des nombres ration- 

 nelles, les fonctions abéliennes singulières considérées dégénèrent en fonctions 

 abéliennes de moins variables de façon qu'à chaque facteur linéaire aux 

 coefficients raiionnaux, de multiplicité m, correspondent des fondions abé- 

 liennes générales {non singulières) de m variables {m = "i , 2, 2>) ^^) et à chaque 

 facteur simple, aux co efficients radonnaux d'ordre n correspondent des fonctions 

 abéliennes singulières de n variables. 



Remarque: 11 est probable que ce théorème ait lieu aussi dans le 

 cas de plus que trois variables. 



1^) Humbert, Les functions abéliennes singulières, Journal de Mathéma- 

 tiques, sér. 5, t. 6, 6, 7. 



12) Humbert, Les fonct. abél. sing. J. de Matli., sér. 5, t. 5. 



^3) Sur la dégénération dans le cas w = 3 a lieu une note analogue â cell . 

 faite au commencement de l'art. 5. 



