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r : sin o t'^ R t-. 



Fällt P' mit P zusammen, so gelten diese Formeln (5'), (7') gleich- 

 falls in sinngemäßer Bedeutung, also 



(5"). (7") 



Legen wir durch T P' wieder die Nurmalebene N^ zu T und betrachten 

 sie als neue Projektionsebene ; es sei r" der Krümmungshalbmesser der 

 neuen Projektion k" von k für den Punkt P' , so ist nach (5") 



r" sin-x , ,, . , 



wTshalb Y = r sm a . 



r : sin g sm- x 



Als Ä' und k" können wir zwei Schnitte irgend eines Kegels (0 U) betrachten, 

 die einander im Punkte P' berühren, von denen der zweite ein Normal- 

 schnitt ist. Dies gibt den Satz von Meusnier speziell für den Kegel, 



Ist P' ein gewöhnlicher Punkt einer Fläche S und sind k-^, k^, k^ 

 irgend drei Kurven auf ihr, welche durch P' gehen, aber in P' verschiedene 

 Tangenten haben, so lassen sich bekanntlich dreifach unendlich viele 

 Flächen 2. Ordnung ermitteln, auf deren jeder es drei durch P' gehende 

 Kegelschnitte gibt, welche beziehungsweise die Kurven k^, k^, k^ in P 

 oskulieren. 



Es ist jede dieser Flächen 2. Ordnung P eine Seh miegungsf lache von S 

 in P', und es wird jede Kurve auf S, welche durch P' geht, in diesem Punkte 

 von einem Kegelschnitt der Fläche P oskuliert>) 



Nehmen wir auf P irgend zwei Kegelschnitte k', k" an, welche ein- 

 ander in P' berühren. Diese Kegelschnitte lassen sich durch einen eigent- 

 Hchen Kegel 2. Ordnung K verbinden. Von jedem Punkte der gemein- 

 schaftlichen Tangente t' von k' und k" in P' läßt sich je eine weitere 

 Tangente an k' und k" legen ; die Verbindungsebene beider ist eine Be- 

 rühn.m-gsebene von K. Ist V der Mittelpunkt von K, so ist T^{Vt') 

 gleichfalls eine Berührungsebenc von K. T ist auch Berührungsebene der 

 Fläche P, also auch S im Punkte P'. Denn sonst würde T die Fläche P 

 in einem Kegelschnitt schneiden, der die Gerade V P' außer P' noch 

 in einem dem Kegel K und der Fläche P gemeinschaftlichen, weder 

 auf k', noch k" liegenden Punkte träfe, was unmöglich ist. Alle Flächen 

 2. Ordnung H, welche durch zwei Kegelschnitte, die zwei Punkte A, B 

 gemein haben, gehen, bilden einen Büschel und besitzen dieselbe Polare^ 

 ■^'on A B als Schnittlinie der Ebenen, welche diese Kegelschnitte zugleich 

 in A und B berühren. Rücken A und B unendlich nahe an einander, 

 so werden die soeben erwähnten Ebenen unendlich benachbart, AB ist 



') Eine einfache geometrische Ableitung dieses Satzes findet sich bei Chr. 

 Wiener: Lehrbuch der darst. Geom. II. Bd. S. 527. 



