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durch irgend zwei Kegelschnitte l^, l^ ersetzen, die sie in P' oskulieren. 

 Es oskulieren einander auch die Kegel {U l-^, [U L^ längs der Kante UP'. 

 Wählen wir U insbesondere unendlich fern in der zur gemeinschaftlichen 

 Tangente an k' und k" in P' senkrechten Richtung. Als /j wählen 

 wir den Krümmungskreis von k' in P'. Der Kegel {U l^) geht in einen zur 

 Ebene N von k' senkrechten Zylinder über, welcher von der Ebene M des 

 Kegelschnittes k" in einem Kegelschnitt l^ geschnitten wird, der k" in P' 

 oskuliert. Es seien r' und /' die Krümmungsradien von k' und k" inP' und cp 

 sei der Winkel der Ebenen N und M, alsdann hat l^ in P'den Krümmungs- 

 radius / und I2 den Krümmungsradius r". Die Kurve l^ ist eine Ellipse, deren 



r' 



halbe Hauptachse gleich , halbe Nebenachse gleich r' ist ; folglich 



cos (p 



r' 



ist r" = r'- : oder r" = r' cosw, was der Ausdruck des Satzes von 



COS(p 



Meusnier ist. 



Wählen wir im Satze II. die Ebene G senkrecht auf t'. Ersetzen wir 

 die Fläche durch eine Schmiegungsf lache 2. Ordnung P für den Punkt P, 

 so schneiden nach diesem Satze die Berührungskegel E, F der Fläche, 

 welche in E und F auf t' ihre Mittelpunkte haben, die Ebene G in zwei Kegel- 

 schnitten c, /, welche einander in P oskulieren. Es sei G ihr gem.einschaf thcher 

 Krümmungsmittelpunkt an dieser Stelle. Die normalkonjugierten Ebenen 

 zu den Ebenen durch EP inbczug auf E hüllen einen Kegel 2. Ordnung ein,, 

 welcher die Normalebene P durch EP längs der Geraden EG berührt. 

 Wir nennen E G die Krümmungsachse von E für EP; sie ist die Achse 

 des Rotationskegels, welcher E längs EP oskuliert. Analog schließen wir, 

 daß F G die zu F P' gehörige Krümmungsachse des Kegels F ist. Wir 

 haben also den Satz: 



„Berührt eine Gerade t eine Fläche' in einem gewöhnlichen Punkte P, 

 so bilden die ^zugehörigen Krüm.mungsachsen der die Fläche projizierenden 

 Kegel, welche ihre Mittelpunkte auf i haben, einen Strahlenbüschcl, dessen 

 Mittelpunkt in der durch P gehenden und zu / senkrechten Ebene liegt." 



7. Zu der Formel (5) kann man schrittweise auch folgendermaßen 

 gelangen. Wir übernehmen hier die Bezeichnung des Art. 2. Der proji- 

 zierende Kegel (0 k) schneide die zu A durch P' gelegte Parallelebene A 

 in der Kurve ko, deren Krümmungshalbmesser für den Punkt P' mit y,> 



r P' 



bezeichnet werden möge. Es ist — ^ =-——-, und k' ist auch die Pro- 



r P 



jektion von k^ von aus. Nun können wir den Kegel (0 k) durch einen 

 Kegel 2, Ordnung K von demiselben MittelpunL 1 ersetzen, welcher ihn längs 

 OP oskuliert. Die Ebenen Ao und M schneiden K in den Kegelschnitten 

 K> h', welche ^0, resp, k' in P' oskulieren und sich außer P' noch in einem 

 auf der Geraden Aq . M gelegenen Punkte Q schneiden. Nun denken wir 

 uns eine zentrische Kollineation für P' als Zentrum und eine durch P' ge- 

 hende Ebene als Ebene der Koüineation ; in dieser Kolhneation soll dem 



