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Aus dem Dreieck T P P' folgt 



t : t' ^= sin v' : sin t ', 

 <es liefert also (2) schließlich die Formel 



L- — f 



V ~1 



■zr=-irTiOP,PP'). (3) 



welche Geisenheimer zugeschrieben wird. 



2. Wir bezeichnen noch die Winkel P^TP, PqT P', mit co, «' 

 Aus der Beziehung 



folgt, da 



^-^iOP.P'P) 



P^P t sin a 



P^P' t'sina' ' 



die Relation 



q' P' sin a 

 Q OP sin o' 



Fällen wir von K die Senkrechte auf Pq und_yon ihrem Fußpunkt 

 die Senkrechte auf PK, deren Fußpunkt mit K bezeichnet werden 

 möge, und ebenso von Kj^ die Senkrechte auf OPq und von ihrem Fuß- 

 punkt die Senkrechte auf P' K^, deren Fußpunkt wir mit K^ bezeichnen, 

 so ist Q =P K, q' = P' K^. Wird die Parallele durch P zu P' K^ von 



O'K^ in Kq geschnitten, so ist, wenn P Kq = Qq gesetzt wird, — = 77-77- 



und aus der letzten Gleichung folgt 



Qq sin o' = (> sin a. 



Das ergibt folgende Konstruktion von K^ (Fig. 1). 



Man ermittelt aus K den Punkt K, zieht durch P de Parallele zur 

 Normale P' K^ und schneidet sie in Kq mit der durch K gezogenen_Senk- 

 rechten zu ; alsdann trifft Kq die Normale P' K^ im Punkte K^, aus 

 dem Kl selbst in der angegebenen Weise erhalten wird. 



Diese Konstruktion ist unmittelbar auch anwendbar, wenn im 

 Unendlichen liegt und gestaltet sich bei orthogonal affilier Lage der Kurven 

 k, k' besonders einfach, da die Senkrechte durch K auf die Normale 

 P' Kj^ bereits im Punkte K^ schneidet. 



3. Für affinliegende Kurven k, k' geht die Formel (:i) über in 



t'-^ P,P 



oder r' sin- x' sin a' — r sin- x sin co. (4) 



t^ ' PoP' 



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