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M berühren und seinen Polardreiecken eingeschrieben sind, oskulieren 

 einander in diesem Punkte." 



Sein Beweis erfolgt vollkommen dual zu dem des Satzes I. 



5. Ist k ein zentrischer Kegelschnitt (Fig. 5) mit dem Mittelpunkt O, 

 o'qj, die unendlich ferne Gerade der Ebene, so sind, wenn überdies die frü- 

 here Bezeichnung beibehalten wird, a, b, t, n Tangenten der Steinerschen 

 Parabel p, deren Berührungspunkt K-^ mit n als Schnitt von n mit der 

 unendlich benachbarten Tangente n^ aus dem Sechsseit {b g^ nn^tû) er- 

 halten werden kann. Wir erhalten hier den Krümmungsmittelpunkt Kj, 

 somit dadurch, daß wir in t . a die Senkrechte zu t, in M die Senkrechte 

 zu a errichten und den Schnittpunkt beider D mit verbinden ; die Ver- 

 bindungsgerade trifft n in Xj. 



Unter den Kegelschnitten des Satzes II befindet sich die Parabel s, 

 welche dem Polardreiseit ab g^ von k eingeschrieben ist. Der zu M ge- 

 hörige Krümmungsmittelpunkt K' von s ist allen Kegelschnitten dieses 

 Satzes gemeinschaftlich. Die Leitgerade von s geht durch 0; sie geht auch 

 durch D als den Höhenschnitt des Dreieckes, welches durch die Tangenten 

 a, t und die zu t unendlich benachbarte Tangente ^j der Parabel s bestimmt 

 ist. Es ist also D^ die Leitgerade von s ; da sie die Normale n von s in K^ 

 schneidet, so ist (nach Satz I) M X' = 2 K^M. Setzen wir M K' = R, 

 so ist R = — -2 f^. - 



Ist k eine Parabel, so rückt b ins Unendliche ; der unendlich ferne 

 Punkt von a, sein unendlich benachbarter auf a und der unendlich ferne 

 Punkt Sqq auf den Senkrechten zu a bilden ein Polardreieck von k ; der 

 ihm eingeschriebene Kegelschnitt s, welcher h m M berührt, ist eine Pa- 

 rabel, welche a zur Scheiteltangente hat. Der zuvor mit D bezeichnete 

 Punkt ist ein Punkt der Leitgeraden von s, welche hier zu a parallel ist 

 und n im Punkte K^ schneidet, welcher der zu M gehörige Krümmungs- 

 mittelpunkt von k ist, wie wieder aus dem Sechsseit {b g^ nn-^t a) folgte 

 in welchem nun b unendlich fern liegt, und der Punkt b . g^ = B^ ist. 

 Es ist also auch jetzt M K' = 1 K^M. 



Wir können somit den früher in anderer Weise hergeleiteten Satz 

 auch so aussprechen: 



III. ,, Beschreibt man in einer Ebene drei Kegelschnitte m, s, k, 

 welche einander in einem Punkte M berühren und von denen der erste 

 einem Dreieck ABC umgeschrieben, der zweite demselben eingeschrieben 

 ist, während der dritte es zum Polardreieck hat, und sind der Reihe nach 

 r, R und r^ die zu M gehörigen Krümmungshalbmesser dieser Kegelschnitte, 

 so besteht zwischen diesen die Beziehung R = 4 r = — 2 fj." 



Jedem Kegelschnitt g, welcher irgend einen Kegelschnitt m des 

 Satzes I im Punkte M oskuliert, lassen sich unendlich viele Polardreiecke 

 von k einschrieben. Denn es sei G^ irgend ein Punkt auf g; seine Polare gj 

 inbezug auf k schneidet g in zwei Punkten ; ist G^ einer von ihnen und G 



