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Man hat also folgende Konstruktion von r. 



Man schreibt dem Dreieck A-^A^P einen Kreis um, welcher n noch 

 im Punkte T treffen möge; alsdann ist r — GT. Sind die Punkte A^, A^ 

 reell, so folgt hieraus, daß wenn die Senkrechte durch Ao zu A^^P die Nor- 

 male n in T' schneidet, r = T' G ist. Zu demselben Ergebnis würde jede 

 der bekannten Konstruktionen von ;' aus gegebenen Elementen P, i> und 

 A^, A2, A^ im allgemeinen durch Spezialisierung ihrer Lage füliren. 



2. Schneidet n- den zum Durchn^esser von k, welcher durch P geht, 

 inbezug auf die Kegelschnittachsen symmetrisch gelegenen Durchmesser 

 im Punkte H, und wählen wir die Schnittpunkte der durch i/zu p genenden 

 Parallelen mit k als A-^, A^. während wir A^ wie zuvor auf n annehmen, 

 so ist zunächst H der Pol einer Involution auf k, welche von P aus durch 

 eine Involution rechter Winkel projiziert wird, so daß A^PJ, -^^P und 

 <^8i . d^z — — Piï^ demzufolge die Formel (1) hier ergibt, daß 



2 y 



PH 



in:. 



Ist der Kegelschnitt k eine gleichseitige Hyperbel, so bilden 

 die Parallelen durch P zu den Asymptoten ein Paar der erwähnten 

 Rechtwinkelinvolution, folgleich liegt H auf der unendlich weiten 

 Geraden der Ebene, so daß hier 



lim 



PH 



somit 





A 



Diese Beziehung läßt sich noch in mannigfacher Weise ableiten. 

 3. Die noimalkonjugicrten Strahlen zu den 

 Geraden des Büschels um P inbezug auf eine Hyper- 

 bel k hüllen (Fig. 1) die Steinersche Parabel des 

 Punktes P ein, welche n im Krümmungsmittelpunkt 

 K von k für den Punkt P berührt. Diese Parabel 

 berührt p und die Senkrechten, welche man in den 

 Schnittpunkten A, B \t)n p mit den Asymptoten 

 zu diesen errichtet. Schneiden diese Senkrechten n 

 in A' und B\ so folgt hieraus, daß A' K = KB'. 

 Ist C der Schnitt von A A' mit B B' und 

 ist der Mittelpunl^t von k, so ist C /v 1 P. 

 Die Senkrechte von auf P C luilbiert in M 

 die Strecke, welche auf w durch die Asymptoten 

 A,0 B ausgeschnitten wird ; es ist also der Durch- 

 messer M von k konjugiert zu der Richtung 

 Fi,'. 1. von 11. Ist die Hyperbel gleichseitig, dann fallen 



B 



