202 



Fig. 2. 



die Geraden P, P C zusammen und es wird M \\ C K, P = P C, 



folglich PK-^MP. 



Wir können auch f(;]gendermaßen schließen (Fig. 2). 



Sind zwei Richtungen inbezug auf die Achsen einer gleichseitigen 



Hyperbel zu einander antiparallel, so ist die senkrechte Richtung zu jeder 



von ihnen konjugiert zur anderen. Es sind also die 



Richtungen von P und n in dieser Weise zu einander 



antiparallel, und somit ist die Senkrechte M durch 



zu P konjugiert zur Richtung von n, ihr Schnitt 



M mit n ist also der Mittelpunkt der Sehne P A^. Der 



über P M als Durchmesser beschriebene Kreis geht 



somit durch 0, ist also ein Polkreis der gleichseitigen 



Hyperbel, und da er diese in P berührt, so ist nach 



einem Satze von Steiner MP gleich dem Kiümmungs- 



halbmesser P K. 



Dies gibt also die folgende Konstruktion des 



Krümmungsmittelpunktes K für eine gleichseitige 



Hyperbel. 



Man verlängert OP über P nach C so, daß PC —OP ist und er- 

 richtet in C die Senkrechte zu OC, welche n in K trifft. 



4. Sind y4i, A^, A^ drei beliebige Punkte eines Kegelschnittes k, 



und trifft p die Geraden A^ A^^, A^ Ac^ in B^ und B.^, schneidet man ferner 



die Senkrechte mP znP A^ mit der Senkrechten in B^zu -p im Punkte 1, 



die Senkrechte in P zu P A^ mit der Senkrechten in B^ zu- ^ in 2, so trifft 



die Gerade 12 die Normale n im Punkte H so daß P H = 2 P K ist. 



Liegen Aj^, A^ unendlich weit auf zueinander senkrechten Richtungen und 



liegt ^3 auf n, so ist 2 P K = P H = A^P = — s.^) 



5. Wenden wir (Fig. 3) nochmals 

 die Formel (1 ) für irgend eine Hyperbel 

 ^an undzwar für den Grenzfall, daß A^, A^ 

 unendlich fern und A^ wieder auf fliegen. 

 Die Parallele zu p durch A 3 möge 

 von den durch P gezogenen Parallelen 

 P A^, P A2 zu den Asymptoten in den 

 Punkten ^i',i4 2' getroffen werden. Schnei- 

 det noch irgend eine Parallele zu p die 

 Geraden n, A^A^, A^A^ in L, A-^" , A{\ 

 so ist nach (1) 



A,^ A^ .LAy" .LA^' 



lim 



2 A{' A{' .L A, 



Fig 3. 



für //';;/ -^ ^ /- = 00 . 



' Anmerkung auf S. 1. Für eine allg. Hyperbel gilt hier 2 y 

 worin qp und t/j die Winkel der Asymptoten mit n bezeichnen. 



stg(ftg ip. 



