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Da 



A-A^' = A^A^.^, 



so ist 



2ys = ^.5.4/ . A.^A./. 



Schneidet somit der dem Dreiecke P ^/ ^2' umgeschriebene Kreis 

 n noch im Punkte T, so ist 2 r = T A^. 



Oder man fällt von Ao,' die Senkrechte auf p und von ihrem Fuß- 

 punkt die Senkrechte auf A^'P; diese schneidet n im Punkt R, für den 

 P R=2r. Selbstverständlich können da ^/ und A2 mit einander ver- 

 tauscht werden. Für eine gleichseitige Hj^perbcl folgt hieraus wieder, 

 daß 2 y = A^P. 



G. Diese Beziehung bei einer gleichseitigen Hyperbel können wir 

 auch auf folgende Art erhalten. Die Normalen, welche von irgend einem 

 Punkte K der Ebene an einen Kegelschnitt n ausstrahlen, haben ihre 

 Fußpunkte aut der Apollonischen Hyperbel k dieses Punktes, welche durch 

 K, durch den Mittelpunkt von it und durch die unendlich fernen Punket 

 Acn, B^ ihrer Achsen gehen, Ist /v der zu P gehörige Krümmungsmittel- 

 punkt von u, dann fallen zwei der Fußpunkte nach P; daraus folgt, daß 

 die gleichseitige Hyperbel k, welche durch 0, A^, B^^ geht und u in P 

 berührt, die in P errichtete Normale n von U außerdem noch im Punkte 

 K schneidet. Nun ist k dem Polardreieck A^ Bç^ von 11 umgeschrieben 

 und berührt « in P, folglich ist nach einem bekannten Satze der Krüm- 

 mungshalbmesser von k in P gleich \KP. 



7. Nehmen wir wieder A^ auf n und A^, A^ auf der zu p parallelen 

 Sehne, welche unendlich nah an ^3 liegt, an, so daß einer der Punkte 

 A^, .4.2, etwa der letztere zu A^ unendlich benachbart ist. Setzen wir 

 AoA-;i^= da, A2Ai = f und bezeichnen mit g? den Winkel, welchen 

 A^P mit der Tangente q an k in ^3 bildet, so gibt hier die Formel (1) 

 die Gleichung 



_ A^A^^dosinrp 



2 A-^^ A.yd cosip ' 



somit 2 r --■= l tg (p. 



Daher die Konstruktion: Wir schneiden k mit n in A^ und mit der 

 Parallelen zu p durch A^ in A^, fällen von Aj^ die Senkrechte auf p und 

 von deren Fußpunkt die Senkrechte auf q. Trifft diese Senkrechte n in R, 

 so ist 2 f = P R. Nach der in Art. 4 herangezogenen Konstruktion ergibt 

 sich für die jetzige besondere Lage der Punkte ^4^, A2, A^, daß wir die 

 Senkrechten in ßg = ? • ^ ^^ P ^^"^^ i^ -^ ^^^ P-^i ^u errichten habe, 

 um in ihrem Schnitt den Punkt 1 zu erhalten, während der Punkt 

 2 hier unendlich weit auf p liegt. Es ist also 2r — B2i. Daß diese 



