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Konstruktion mit der vorangehenden übereinstimmt, folgt daraus, daß 

 für -^ AzA^P = ijf man erhält 



B^l =--P B.ycotilj = sig(p coir}; und P R = A^A^^tg (p =^ s cot xjj ig cp, 



also tatsächlich B.^l =P R ist. 



8. Wir haben zuvor (Art. 6.) von dem folgenden Satz Gebrauch 

 gemacht. 



,, Berühren einander zwei Kegelschnitte u, Wj in einem Punkte P, 

 st der erste von ihnen einem Dreieck A-^A2,A^ umgeschrieben, welches 

 für den zweiten ein Polardreieck ist, und sind K, resp. -Kj die zu P ge- 

 hörigen Krümmungsmittelpunkte der Kegelschnitte u, u^, so ist P K^ = 

 2 .KP." 



Wir wollen hier einen analytischen Beweis dieses Satzes geben. 

 Wir wählen P als Anfangspunkt, die gemeinschaftliche Tangente von u 

 und «1 in P als Aî-Achse eines rechtwinkeligen Koordinatensystems. ^) 

 Die Koordinaten von A -^, A 2, A ^ seien {x^y^}, (a;2>'2) i^sys)- Die Glei- 

 chung von «1 ist allgemein 



^11 ^2 _|_ 2 üi^xy + a.,2 y- + 2 ^23 V = 0. (1) 



Da A^, A2 konjugiert sind inbezug auf ii-^, so ist 



«11 % % 4- %2 K Vo + ^23^1) + ^22 3'l3'2 + ^^23 (3^1 + ^'2) =" 0- ' (2) 



Es gelten weiter die Gleichungen (3) und (4), welche man durch 

 zyklische Vertauschung von x-^, x^, x^ und y\, y 2, y s erhält. Weiter ist 



P K^— i\ = ■ — . Eliminiert man aus dieser Gleichung und aus (2), 



(3) und (4) die Koeffizienten dik und setzt Xi = yttg Qi {i = 1,2,3), so 

 erhalten wir die Gleichung 



fS9i+tS92, 1, 



y'i + y 2 



3'lJ'2 



ig Qi ig Q2> ig Qi + ig (»2. 1 



Avoiin der Faktor bei r^ und die rechte Seite Determinanten sind, für 

 welche wir nui die ersten Zeilen geschrieben haben, deren zweite und dritte 

 Zeüen aus den ersten durch zyklische Vertauschung hervorgehen. 



Subtrahieren wir in beiden Determinanten die letzten Zeilen von 

 den ersten und zweiten, so bekommt man durch weitere Ausführung 



ig 9-2— ig Qi. 

 igQ2-i(iQi, 



ys 



Vo 



>'3 3'2 



3'i — ^'-2 



3'1 ^2 



= [ig Qz — ig Q-s) Hg Qz — ig Qi^ Ug Ps — ig Qi) i^) 



1) Mau sehe Fußnote auf S. 1. 



