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bezug auf b konjugiert sind den Kreis Cß, welcher zur Geraden P B invers 

 inbezug auf h ist. Es ist deshalb Q der von P verschiedene Schnittpunkt 

 der Kreise c«, Cß. 



Wird die Normale n von der Senkrechten, die man von Aq auf P A 

 fällt, in Na und von der Senkrechten, die man von Bq auf P B fällt, in Nß 

 getroffen, so sind Aq Na und Bq Nß Durchmesser der Kreise c«, Cß ; die 

 Verbindungsgerade der Punkte I, II, welche AqN^, Bf^Nß halbieren, ist 

 ihre Zentrale. Da der Kreis /e durch die Schnittpunkte P imd Q von c„ 

 und Cß geht, so ist / // auch für ihn ein Durchmesser. Folglich schneidet n 

 die Gerade I II im Mittelpunkt K von k. 



5. Unsere Betrachtungen lassen eine duale Übertragung zu, welche 

 zu den folgenden Ergebnissen führt. 



Es seien (Fig. 3) p and c zwei feste Tangenten eines Kegelschnittes 

 k, Pder Berührungspunkt von p ; führen wir durch den Schnittpunkt irgend 

 einer Tangente a von k mit p die Senkrechte zup und durch P die Senkrechte 

 zur Geraden üq, welche P mit dem Punkte a . c verbindet, so beschreibt 

 der Schnittpunkt Ä' beider Senkrechten eine Gesade q, wenn a sich längs 

 des Kegelsennitt es k bewegt. Jeder Tangente c von k ist eine solche Gerade q 

 zugeordnet ; beschreibt c den Tangentenbüschel von k, so beschreibt q 

 einen zu ihm projektiven Strahlenbüschel, dessen Mittelpunkt K^ auf der 

 Normale von Ä in P liegt. 



Wählen wir irgend eine Gerade c^ in der Ebene, so hüllt die Gerade a^, 

 welche die Punkte p . a, c-^. «(, verbindet, einen Kegelschnitt k^ ein, wenn a 

 längs des Kegelschnittes k sich bewegt, und es wird k von k^ im Punkte P 

 oskuliert. Die zweiten Tangenten von c . m.r\.k und von c^ . nsji k^ schneiden 

 sich im Punkte q . p. 



Schneiden wir die zu p parallele Tangente an k mit n, wählen die 

 vom Schnittpunkt an k gehende zweite Tangente c als c, so ist die zuge- 

 hörige Gerade q parallel zu p; bezeichnen wir sie in dieser Lage mit q^. 



Der Krijmmungskreis von j^ in P schneide n noch im Punkte H. 

 Die Tangente c^ an ihn in diesem Punkte möge nun als die Gerade q 

 angenommen werden. Ihr entspricht, wenn wir die Gerade 'c des allge- 

 meinen Falles durch c ersetzen, ein Kegelschnitt k^, welcher ^ in P oskuliert 

 und Cj in H berührt, also mit dem Krümmungskreis k zusammenfällt. 

 Schneidet irgend eine Tangente a 2lR k p in A„, c in Ay, und schneidet 

 die Gerade üq, welche P mit a . c verbindet q in Ay, so hüllt also die Gerade 

 A:^ Ay den Kreis k ein, wenn sich a längs k bewegt . Führen wir an k eine 

 zu n parallele Tangente, welche c-^ in Cj, p in AJ und q^ in A^ schneiden möge. 

 Aus dem recht wmkeligen Dreieck A^PC^ folgt, daß A„' C^ = 4: A„A„^, 

 es ist also der Krümmungshalbmesser von k für den Punkt P gleich 2 . K^P. 



Liegt ein Dreieck ABC, irgend eine Gerade p und ein auf ihr gele- 

 gener Punkt P vor, so ist dadurch ein Kegelschnitt k bestimmt, welcher 

 dem Dreieck umgeschrieben ist und pinP berührt und ein Kegelschnitt k*, 

 welcher dem Dreieck eingeschrieben ist und gleichfalls p in P berührt. 



