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gezogenen Parallelen u, X^ irgend ein Punkt der Ebene, und schneidet 

 man schließlich die Geraden X^C^, X3 Cg beziehungsweise mit den durch P 

 zu Q Cj, Q C'2 gezogenen Parallelen in X^ und X^, so haben die Kegelschnitte 

 welche P in p berühren, von denen der eine dem Dreieck A-^ A^ A^, der 

 andere dem Dreieck X^ Xg X^ entweder umgeschrieben oder eingeschrieben 

 ist oder von denen der eine A^A^A^, der andere X^^X^X^ zum Polar- 

 dreieck hat, die Eigenschaft, daß sie einander in P oskulicrcn. 



10. Zum Schluß wollen wir unsere Beziehungen auf die Lösung 

 einiger Aufgaben anwenden, deren Zahl leicht vermehrt werden könnte. 



,,Ein Kegelschnitt k (Fig. 7) ist durch vier Tangenten und den 

 Berührungspunkt P einer von ihnen p gegeben ; man soll den Kegel- 

 schnitt k' konstruieren, welcher zwei gegebene Geraden x, y berührt 

 und Ä in P oskuliert." 



Es wird sich da darum handeln, irgend eine von den gegebenen 

 Tangenten verschiedene Tangente z von k' zu ermitteln. Dies könnte 

 durch die zentrische Kollineation zwischen k und k', welche p zur Achse 



hat und deren Zentrum auf p liegt, ge- 

 schehen. Einfacher jedoch ist die folgende 

 Konstruktion. Die von p verschiedenen 

 Tangenten, welche zur Bestimmung des 

 Kegelschnittes k gegeben sind, mögen das 

 Dreieck A-^^ A^ A^ bilden. Werden die Ge- 

 ;, // raden P A^, P A^ \on x in Ay , A^ ge- 



^* schnitten und treffen sich die Geraden, wel- 



Fig. 7. che A^ mit ^1^43.^ und A^ mit .^o A^ . p 



verbinden in A^ , so oskuliert der Kegelschnitt k^, welcher p in P berührt 

 und dem Dreieck A^' A./ A^' eingeschrieben ist, k in P. Aus dem Sechsseit 

 [p, p', X, A2' A^, A^ A^, q\, welches ^0 umgeschrieben ist, in welchem q 

 durch Q =y .p geht und p' zu p unendlich benachbart ist, folgt, daß 

 wenn man die Diagonalen P A^' , Q A^ zum Schnitt bringt und den Schnitt- 

 punkt mit X . p verbindet, diese Verbindungsgerade m die Tangente 

 A-i* A^' in einem Punkte schneidet, welcher q angehört. Da kß, k' gleich- 

 falls zentrisch kollinear liegen für p als Achse und p . x als Zentrum der 

 Kollineation, so schneidet m die Gerade y auf derjenigen weiteren Tan- 

 gente z von k' , welche A^' A^' auf p schneidet. 



Oder man ermittelt etwa die Schnittpunkte X, Y der durch x . p 

 und y . /> an Ä noch möglichen Tangenten x^, y^ mit A^^ A^ aus den Sechs- 

 seiten [/), p', Ay As, ^2 A^, Ay .4,, %J, [p, p', Ay As, A^ A^. A^ A^, y^l 

 welche k umgeschrieben sind, wobei p' zu p benachbart ist ; alsdann 

 schneidet man PX mit x in Xy und P Y mit y in i\. Nach frülierem 

 ist z =XyYj^ eine weitere Tangente von k'. 



In beiden Fällen erfordert die Konstraktion das Ziehen von 8 Ge- 

 raden. 



