216 



„Ein Kegelschnitt k ist: 



a) durch drei Punkte A, B, P und den zu P gehörigen Krümmun^s- 

 mittelpunkt K] 



b) durch drei Tangenten a, b, p und den z\i p gehörigen Krümmungs- 

 mittelpunkt K' gegeben; 



man soll seine Achsen konstruieren." 



Man ermittelt in a) auf der Normale P K den Punkt K^ so, daß 

 P K^ =2 KP wird ; schneidet A B die Tangente p in P an kirn Punkte C, 

 so bringe man die Senkrechte in C zu p mit der Senkrechten in P zu P ^ 

 zum Schnitte und verbinde den Schnittpunkt mit K^; die Verbindungs- 

 gerade ist die zuvor mit q bezeichnete Gerade. Die Senkrechte zu q durch P 

 trifft die Parallele durch B zu p im Punkte D, welcher auf k liegt. Die 

 Gerade d, welche P mit der Mitte von B D verbindet, ist der zu p kon- 

 jugierte Durchmesser von k. Zieht man durch den Punkt A B . d die 

 Parallele zu p und verbindet den Punkt, in welchem sie PA schneidet, 

 mit D, so trifft die Verbindungsgerade den Durchmesser d, wie sich aus 

 dem Satz von Pascal leicht ergibt, in seinem Endpunkt F. Dadurch ist 

 auch der Mittelpunkt von k gegeben. Wir schneiden noch die Senkrechte 

 m zu d mit P K in N und beschreiben den durch gehenden Kreis 

 dessen Mittelpunkt mit dem der Strecke N K zusammenfällt^). Dieser 

 Kreis schneidet P K in -zwei Punkten, welche den Achsen von k angehören. 

 Eine der Achsen bestimmt mit p und P K em Dreieck, dessen umge- 

 schriebener Kreis die andere Achse reell schneidet. Die Schnittpunkte 

 sind Brennpunkte von k. 



b) Die Senkrechte zu p in b.p schneidet die Senkrechte im Berührungs- 

 punkt P von p zur Geraden, welche P mit a . b verbindet in einem 

 Punkte von q. Es verbindet also q diesen Punkt mit dem Punkte K^, für 

 welchen P Ki = ^ K' P ist. Die Senkrechte durch P zu q trifft a in einem 

 Punkt der zu p parallelen Tangente / von k. Die Gerade, welche a . p 

 und b . / verbindet, schneidet die Gerade, welche b . p mit a . f verbindet 

 in einem Punkte, welcher dem zu p konjugierten Durchmesser d von k 

 angehört ; dieser trifft / in seinem Endpunkt F. Der weitere Verlauf der 

 Konstruktion stimmt mit dem der vorangehenden überein. 



^1 Cf. Zur Krümmung der Kegelschnitte voluten in den Sitzungsber. der 

 k. böhm. Ges. d. Wissensch. 1902. 



