^vird also als Krümmungskreis des soeben erwähnten Kegelschnitts 

 erhalten. 



Dies führt zu der folgenden Konstruktion. 



Hat man die Geraden f, ^j, p^ und q, q^, q^ geeignet festgestellt, 

 so konstruiert man die Polaren p, q von in bezug auf die Geradenpaare 

 fi p2> ö'i ^2 ^^iT-d ermittelt für den Krümmungsmittelpunkt K des Kegel- 

 schnittes, welcher t in berührt imd durch die Punkte L^ = p .q, 

 Lz^ p . q, L^ ^^ p . q geht ; es ist alsdann K ein Durchmesser des 

 Kreises, welcher die Kurve 3. Ordnung im Punkte oskuliert. 



Da wir jedes von den Geradenpaaren pi p.^, qi q^ durch einen Kegel- 

 schnitt ersetzen können, so läßt sich unsere Konstruktion auch, wie folgt, 

 modifizieren. 



Durch ziehen wir zwei Gerade p, q, welche die gegebene Kurve k 

 noch in den Punkten 0' , 0", beziehungsweise A^, A^ trifft, wählen noch 

 irgend zwei Punkte ^i', A 2 auf k und ermitteln etwa noch den Schnitt 

 Ai" von ^1 A^' mit k. Dann gehören k, ferner die aus den Geraden p, p^ = 

 = A^A^', P2 = A2 A2 und die aus der Geraden q und dem durch 0',0", A^', 

 A 1", A^ gehenden Kegelschnitt h bestehende Kurve einem Büschel an. Wir 

 konstruieren also die Polaren^ und $' des Punktes in bezug auf das Geraden- 

 paar p^ p2, beziehungsweise inbezug auf den Kegelschnitt h. Oder nachdem 

 wir die Geraden p, q mit den Punkten 0', 0" und A^, A^ festgelegt haben, 

 wählen wir irgend drei Punkte B^, B.^, B^ auf k, welche mit A-^, A^ 

 einen Kegelschnitt {p) und mit 0' , 0" einen Kegelschnitt {q) festlegen, 

 so daß k, p ip), q (q) drei Kurven 3. Ordnung sind, welche einem Büschel 

 angehören. \^'ir konstruieren nun die Polaren p und q von inbezug 

 auf die Kegelschnitte {p), {q). 



In beiden Fällen werden die Geraden p, q in gleicher Weise zur 

 Konstruktion des Punktes K verwendet wie früher. 



4. Betrachten wir nun eine allgemeine algebraische Kurve n. Ordnung 

 k in der Umgebung eines gewöhnlichen Punktes P auf ihr. Wir wählen 

 diesen Punkt als Anfang, die Tangente in ihm an k als %- Achse eines recht- 

 winkeligen Koordinatensystems. Führen wir z als homogenisierende 

 Veränderliche ein, so ha.t k die Gleichung 



2 «23 y 2«-^ + Kl X- + 2 a^^xy + «,2 Y^) 2°"^ + U ^ 0, 



worin U eine homogene Funktion w-Ordnung von x, y, z bezeichnet, welche 

 inbezug auf z höchstens vom Grade n — 3 ist. 



Die quadratische Polare ^3 <i^s Punktes P, für den x = 0, y = 

 ist, fällt, da U die Veränderlichen x, y in höherer als der zweiten Ordnung 

 enthält, mit der quadratischen Polare dieses Punktes inbezug auf die 

 Kurve k' 



(2 a^^y z -{- a^j x- -\- 2 a-^^ ^ y -^ ^22 y^) ^""^ ^ ^> 



