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analytischer Darstellung, wenn zur Bestimmung der sukzes- 

 siven Näherungswerte generierende Funktionen eingeführt 

 werden, denn diese besitzen gewisse charakteristische Eigen- 

 schaften, die, insbesondere wenn es sich um Differential- 

 gleichungen mit rationalen Koeffizienten handelt, also um das 

 Problem, eine Lösung als Grenzwert rationaler Funktionen 

 darzustellen, eine Analyse des Algorithmus gestatten. Die zu- 

 nächst in Betracht kommenden Gesichtspunkte sind die fol- 

 genden. 



Genügt die Funktion y der Variabein x einer linearen 

 Differentialgleichung 



r""' : - ^ ^»(x)y( w -^-hV(x), (1) 



mit deren Hilfe sich die höheren Differentialquotienten r ( " '', 

 y( m + 2 \. . . linear durch y,y', • .y u " '' ausdrücken lassen 



■11 = 1 



- vorausgesetzt, daß Ableitungen jeder endlichen Ordnung 

 der Koeffizienten <I> und V an der Stelle x existieren - - und 

 führt man die generierenden Funktionen der <!>/,„ und Y h in 

 der Form ein 



oo 



V <[) i^L_^ + „, 



" ~~ (m-—n)\ + ^ (h+m)\ 



' h = v 



oo 



TT . \ ' '' 



n ~ " Z_ (// + «/)! 



* = o 



(3) 



so genügen die G„ für // = 1,2,...»; alle ein und der- 

 selben Differentialgleichung in bezug auf die Hilfsvariable 3 



^: = v.,,,.,,+3,^1";, (4) 



8 B m _• 3 s'" — * ' 



