Analytische Betrachtungen über Kugeln, welche 

 vier gegebene Kugeln berühren. 



Von J. SOBOTKA. 



(Vorgelegt am 8. März 1912.) 



1. Sind Ai [i = l, 2, 3, 4, 5) fünf Punkte auf einer Kugel, und be- 

 zeichnet man die Entfernung der Punkte Ai. A^ durch dtk, so gilt die 

 folgende bekannte Relazion, welche eine Erweiterung des Satzes von 

 Ptolomäus auf eine Kugel bedeutet: 



= . 



(1) 



Betrachten wir fünf Kugeln Kj [i — l, . . , 5), welche von einer 

 sechsten Kugel K mit dem Mittelpunkte 5 und dem Halbmesser r in den 

 Punkten A, berührt werden. Es seien Sj ihre Mittelpunkte und ;'< ihre 

 Halbmesser. Weiter setzen wir 



Offenbar ist 



<^ S< 5 Sa = (pik . 

 "«*' = * ''' sin- ^ . 



Durch Einsetzen dieser Werte in (1) gelangen wir zu einer Relazion 

 zwischen den Winkeln, welche fünf von einem Punkte ausgebende Gerade 

 bilden, nämlich: 



0, Sill- ^ , sin- -^ , sui- ^ , sm- ^ 



, 9'21 



sm- 



sin-^ ^ 



0, sm2^^ sin^^, sin-^ 



sin- 



9'32 



u , sm- -— , sin- -jr- 



sm 



2 9^4 



s,„.^i?, si,f-^. 



0, sin^^ 



sin-'^ 



Â 



sin^ ^ , sin^ ^ , sin- ^ , 



^ Jl À 



^, 



(2) 



