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Weiter folgt aus dem Dre'eck S; S Sk 



Cik" = Si 5,2 = {y — n^ + (;- — ;-*)- — 2 (r — n) [r ~ Vk) cos cpi, 



= (n — nY + 4 (;- — ;-<) {r — r,) snj^ Ç . 



Dabei führen wir den Begriff von orientierten Kugeln ein, welche 

 wir als Sphären bezeichnen wollen, Wir legen einen bestimmten Drehungs- 

 sinn um eine Gerade als positiv, den entgegengesetzten dann als negativ 

 nach bekannter Definizion fest und orientieren jede Kugelnormale positiv, 

 beispielsweise in der Richtung von ihrem Fußpunkte ins Unendliche auf 

 der Seite, welche den Kugelmittclpunkt nicht enthält und negativ somit 

 auf der entgegengesetzten Seite; dann wird auf der Kugel ein der posi- 

 tiven Drehung entsprechender Sinn die Kugel als positive Sphäre, der ent- 

 gegengesetzte als negative Sphäre orientieren. Den Halbmesser einer posi- 

 tiven Sphäre wollen wir positiv, den einer negativen somit negativ 

 nehmen, so daß mit Rücksicht darauf die letzte Gleichung allgemein 

 gilt, also ebensowohl für innere als auch äußere Berührung zweier 

 Kugeln. 



Setzen wir 



tik' 



Cik^ — (''( — fk)'. 



(3) 



worin /<* die Länge der gemeinschaftlichen Tangente der gegebenen 

 Sphären Ki, K* bezeichnet und dies allgemein ob Ut,- positiv oder negativ 

 ist, so wird mit Rücksicht auf den soeben bezeichneten Wert für Qä"^ 



sm- 



.fik 



tik- 



-t (r — i'i) {>' — Vk) 



(-t) 



Werden diese Werte in die Determinante (2) eingesetzt, so gelangen 

 wir, wenn wir allgemein noch die i" Zeile mit 4 (r — ;-«) und die k" ^Spalte 

 mit {r — fk) multiplizieren, zu der Beziehung 



= 0. 



(5) 



Ist &ik der Winkel, in dem sich zwei Sphären schneiden, so gilt die 

 leicht zu beweisende Relazion 



sin- 



■i i'i n 



und für die Winkel, unter denen sich fünf Kugeln, welche eine und die- 

 selbe sechste Kugel berühren, schneiden, erhalten wir aus (5) die Relazion: 



