145 



'•23 ^24 ^34 ^^l" ~r ^}3 ^14 ^34 "'^2" "T" '^12 ^14 ^24 ^3~ "T *12 '^13 ^23 ^l" 

 ^34 ( ^12 '^34 r ^13 ^24 ' ^H ^•231 ^^1 ^2 



Tj4 (rjo ^34 + Ti3 ^34 fi4 l^äs) •"■2 •''^3 



■•12 



^12 ^^3 



■ ^23 V^: 



23 V''12 "-34 



+ ^14 *'23) -^3 ^i 

 ^^14 ^23) ^^'4 ^'^'1 



^24 (^i2 ^34 '^IS '•24 1 '^14 '■23) •"■! ^3 



r,o r,. 



. ^24 ~r ^14 ^ 



■3) -^^'2 -^^'4 



0. 



(9) 



Alle Paare von Berührungskugeln erhalten wir also dadurch, daß 

 wir alle möglichen Kombinazionen der Größen r.-j bilden, indem wir ent- 

 weder Tik = dik- — (f'i — rk)~ oder r^* = dtk'^ — {u + r^)- setzen, jenachdem 

 wir die Halbmesser ;-<, rii als gleich oder entgegengesetzt bezeichnet an- 

 nehmen. Hiedurch erhalten wir für die Vorzeichen der Halbmesser r^, r,, 

 ;•;,, r^ im ganzen 16 mögliche Kombinazionen; eine jede von ihnen führt 

 zu bestimmten Werten tj* und somit zu einem Paar von Berührungs- 

 kugeln. Wenn aber e^, So, £3, «4 eine solche Vorzeichenkombinazion der 

 Halbmesser ;'; bedeutet, die zu den entsprechenden Werten tik führt, dann 

 führt die Ivombinazion der entgegengesetzten Vorzeichen, also — «j, 

 — «2' — *3' — *4 2u denselben Werten von r« , so daß man im ganzen 

 nur 8 von einander verschiedene Kombinazionen der r« bilden kann, 

 wodurch wir zu acht Paaren von Berührungskugeln zu vier gegebenen 

 Kugeln gelangen. Dabei ist ersichtlich, daß zwei Kugeln sich von innen 

 oder außen berühren je nachdem, ob ihre Halbmesser gleich oder entgegen- 

 gesetzt bezeichnet sind. 



3. Betrachten wir im folgenden das Potenzzentrum der gegebenen 

 vier Kugeln als Koordinatenanfang und es sei p deren gemeinschaftliche 

 Potenz; zunächst ist 



Ki = (p (x, y, z) — X (pi. — y (p'i,. — z cp'^. + qj (äi, bi, c,) — rr = 0, , 



Avenn wir setzen: 



(p {x, y, z) = X- + y- + z- + 2 X y cos x y -{- 2 y z cos y z + 2 z x cos z x, 



9 Ç) («,-, bi, a) 



Vbi 



<P'ci 



und wenn «j, bi. et die Koordinaten der Kugelmittelpunkte sind. 

 Führen wir weiter folgende Bezeichnungen ein: 



0. 



•■31' 



0. 



'■il' 



= A, 



iBuUetin internalional. XVII. 



10 



