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[(1, 1,) far — 2 (qj'a., 1) qp;, + (cp'a., çi.)] x" 

 + [(1, 1) <pi.2 — 2 ((jpi., 1) qpi. + (<jPi., ç,i.)] y2 



+ [(1. 1) qP^,- — 2 (<f'cV 1) ?v. + ifci. (fVi)] 2-^ 

 + 2 [qp;, 94, (1, 1) — (jpi, ((p;., 1) — (jp;, (qpj., i) + (g^ij, cpi,.)] x y 



+ 2 [{(fi, (fc, (1,1)— (fc, {<p'l>i, 1) — <fk [f'ci- 1) + i(f-'bi, «Pq)] .V 2 



+ 2 [(p^. (jpi. (1,1)— (pi. (qp^., 1) ^ 9;, (<pi,, 1) + ((p^,. «Pyi zx=0. (12) 



Die Ausdrücke in den eckigen Klammern kann man vereinigen. 

 Es ist nämlich beispielsweise 



(1, 1) fpaC- — 2 (qpi., 1) 9i, + (ci-, (p;.) = 

 = — (qpi; — «pal. qpii) + (qpij, 9<ii — 9a.) 



= (qpi( — <p;„ qP^j) — («pij — (ï'à,, yij = 



= (7>;.- — qpi„ qpij — ip«); 



und weiter 



9'a, (p'h (1. 1) — 9'h (<3Pii. 1) — qpà. {(P'bi, 1) + (g'ii, <pij) = 



— [(g>âj. <pi.) — (qpi.. <P6i)] + [(ç)«;. qpi,-) — (^ii. 9*/)] = 



(SPi, qPäi. 96.) + i'P^i "P'n- *)P^) = iVk V'a^- V'ài 9k) 



Auf diese Weise vereinfacht sich die Gleichung (12) und geht über 

 in die Gleichung: 



{(p'ai — 9ii. fn — (f'k) ^'- + (<P6j — fk, fk — 96.) y- + {¥h — 9«!. 'P'h — 9c.) 2^ 

 + 2 {(fa^ — (p'a„ ip6, — 9k) xy + 2 {q>i,. — (pj., qp;. — qpi.) y 2 



+ 2 {q>^. — (p'c,, cpa. — (pk) zx = 0. (13) 



5. Suchen wir allgemein den Schnitt eines Paares K, K' von Be- 

 rührungskugeln zu den vier gegebenen Kugeln Kj in (11) mit einer belie- 

 bigen Kugel Q, welche dem Kugelkomplex angehört, der durch die vier 

 gegebenen Kugeln festgelegt ist, so braucht man bloß, da die Gleichung 

 der Kugel 0, deren Mittelpunkt die Koordinaten cc, ß, y besitzen und 

 deren Radius mit q bezeichnet werden möge, geschrieben werden kann 



q, + p — X (p'a — y cp'ß — z (p'y = 0, 

 wobei 



p =cp{a, ß, y) — Q^, 



in die Gleichung (11) zu setzen 



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