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11. Die Ebenen Sigi bilden ein Tetraeder (I II III IV), wobei 

 wir mit L die der Seite St gi gegenüberliegende Ecke bezeichnen. Durch 

 Auflösung der Gleichungen (22) zu je dreien nach .r* erhalten wir die 

 Koordinaten .xjf' der Ecken L, für die wir also das folgende Schema 

 erhalten: 



•^l'*' = ^23 (— î^ia ^^34 — '^l.T ^^24 + ^li ^is) ' '^l'^' = ^^24 ( + ^^12 ^^i ~ '^IS '^21 + ^^14 ^23) > 

 ^2'*' = ■«^13 (— -^12 »^34 + 1^13 ^24 — '^14 ^23) • -'^l'^' = ■^ll ( + ^ Li ^U + ^^43 ^^24 ~~ ^U ^23) . 

 ^3'*' = ■f 42 ( + ^42 ^^34 — ^43 ^U ~ '^44 ^23) • '^'s*^' = — C Tj., T^^ Tj, , 



V*' = ::! T12 r,i T,s, .r^'ä) = rj. (— r,o r^, + r.g r,^ + z^^ t,J . 



^4'"' = »^34 (+ Ï42 ^34 — ■^iS ^24 — ^^44 ^23) ■ -^'4''* = — - '^JS »^24 Hi- 



;i;/2) = 2 T^3 ri4 T31, .v.,(i> = T34 ( - '^42 ^^34 + ^is ^u + ^u ^23) - 



^3'^' = '^44 (— ^^42 »^34 — ^ 43 ^^24 + ^U ^is) ■ -^3'" = ^^24 ( + ^42 f M — 'f 43 ^^24 + »^44 ^^23) . 

 V"' = 'f 43 (— ^^42 ^31 + '^la ^1 1 — ^"44 ^^23) • "^V = 'f 23 ( + ^42 ^^34 + ^43 ^U — ^ li ^^s) ■ 



Aus diesen Koordinaten können wir leicht auf die Bedeutung der 

 Ebenen (löj). (loa), (U.) schließen. 

 Zunächst ist 



R, = .v,(^) Pi, + .Ï3<*> Pia + .v^'^' Pi4 = 0, 

 (-) R, = .ï/'> P,, + aV^) Pi3 + .V=" Pu = 0. (1-5') 



7?3 = .v,<^) Pi3 + .v^*^) Pis + v^i^) Pj, - 0. 



Es sei weiter Vi die Höhe des Teti"aede4-s S^ 5., Sg S4, welche der Ecke 

 Si zugehört und ilire positive Richtung möge von Si zur gegenüberliegenden 

 Seite gehe4i; weiters bezeichnen wir jetzt die Senkrechten von auf die 

 Ebenen Sj S, S3, Sj S^ S^, S^ S3 S4, welche früher mit x, y, z bezeichnet 

 worden sind, mit X^, X^, X, und nehmen sie positiv in positiver Richtung 

 der Höhen Vf Dann gehen die Gleichungen (Ui) über in 



-P42 == — ''2 -^'2' -^43 = — '''3 '^'3. -^^14 — '^'4 -^'4 

 U4id die Gleichung (15') in 



x.,^*^ Vo X^ + x^W v^ Ä-3 + ^4<*) v^ A'4 = 0, 

 xé'^ v.^ A'2 + -rs'" ^'3 ^3 + ^4<" -^4 ^4 = 0, 



.ï,(2) v., A'2 + X^ î'3 A3 + Xf^ ^4 X4 = 0. 



Da wir den Schwerpunkt des Koordinatentetraeders als Einheits- 

 punkt gewählt haben, so ist allgemein x^^'^Vk die vierfache Entfernung des 

 Punktes L von der der Ecke S/ gegenüberliegenden Seite. Bezeichnen wir 

 diese Entfernung mit d^''*, so nehmen die Gleichungen Äj = 0, R2 = 0, 

 i?3 = die folgende einfache Form an. 



d,(^) X., + ^3«^) A-3 + ()'4<*) A'4 - 0, 



af^ X, + â,^'^ X3 + ^4(5) -Y4 = 0, (15") 



dé'-^ X., + *3(2) A'3 + âf^ X, = 0. 



