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rade ^^ ist normal zur Ebene Sj g-^; ferner ist gs = C3 D^ und die Gerade p^ 

 ist normal zur Ebene S3 G3. 



Die Gerade AiB^ möge 5354 im Punkte C^, die Gerade C^D^ die 

 Kante S^S^ im Punkte £3 treffen. Dadurch sind die Geraden g^, g^ 

 der einen Geradenschar auf dem Hyperboloid (g^ g^ g^ g^) gegeben; die 

 Gerade q.2 = B^ D^ gehört ihm als die in der Berührungsebene S^ S3 S^ 

 des Hyperboloids gelegene Gerade der zweiten Schar an. Den Schnitt- 

 punkt dieser Geraden mit Sj S3 bezeichnen wir E^. Dadurch erhalten wir 

 in C4 £4 eine weitere Gerade g^, und die Gerade p^ ist senkrecht zur Ebene 

 S4 g^. Es sei dann F^ der Schnitt von ^4 mit S^ S3. Dadurch gelangen 

 wir zu der Geraden q-^ = E^ F^ der zweiten Schar, welche S3 S4 im 

 Punkte F^ schneiden möge. Es ist q^ — A^ C^ auch eine Gerade der zweiten 

 Schar; sie schneidet Sj S3 im Punkte D^. Dann ist schließHch g^ = F^ D^ 

 und die Gerade ^^ ist als die durch gehende Normale zu S^ g^ gleichfalls 

 bestimmt. Trifft §-3 die Kante S^ S4 im Punkte E,, so liegen die Punkte Cj, 

 C4, £, auf der Geraden (73 der zweiten Schar. 



So haben wir alle Berührungspunkte von K und K' mit den ge- 

 gebenen Kugeln festgesetzt. 



13. Handelt es sich darum, die Mittelpunkte der Kugeln K, K' mit- 

 zubestimmen, wird es vorteilhafter sein, wie folgt, vorzugehen. 



Wir konstruieren zuerst die Schnittgerade g^^ der Ebenen Sj g^, S^ gg 

 etwa so, daß wir auf Sj S3 und S^ S4 die Punkte A^^, B^ auf Grund der Teilungs- 

 verhältnisse {S-^ S3 A^ = —, (Sj S4 So) = — ermitteln, ebenso dann die 

 Punkte A^, B^ auf Sj S3 und S.^ S^ auf Grund der Teilungsverhältnisse 

 [S^S^A^) =î^, (S2S4ßi) =^. Die Geraden S^A^, S,_A,_ schneiden sich 



im Punkte A-^^.- ^^^ Geraden Sj B^, S.-, ß., im Punkte ß^; die Gerade g^o, ist 

 alsdann die Verbindung von .^i., mit ß^^- 



Dann legen wir durch das Potenzzentrum die Ebene Gj, senkrecht 

 zu gia; sie enthält beide Geraden p^, p.^, von denen die erste normal zur 

 Ebene S4 A^ B^, die zweite normal zur Ebene S^ A 2 B^ ist. Es seien Äj, k^, 

 Kreise, in denen diese Ebene die Kugeln Kj und Kj schneidet; die Ge- 

 rade />! möge den Kreis k^ in den Punkten U-^, F^, den Kreis k^ in den 

 Punkten U^, Vo, treffen. Die gesuchten Berührungskugeln K, K' werden 

 von G12 in den Kreisen P, k' geschnitten. Das Sichentsprechen der er- 

 wähnten Berührungspunkte ist daraus ersichtlich, daß k sowie k' beide 

 Kreise k-^, k.2 berührt und zwar entweder beide gleichartig, d. i. beide 

 von außen oder innen, wenn 1^12 = ^12" ^^ ('1 — '2)' oder ungleichartig, 

 also einen von außen, den andern von innen, wenn r^j = ^12^ — (''1 + '"2)'^- 

 Außerdem muß, wenn k die Kreise k^, k^ in U-^, U.^ und k' in Fj, Fj be- 

 rühren soll, sowohl die Gerade C/^ U^, als auch die Gerade F^ Fg nach 

 einer bekannten Eigenschaft durch einen und denselben Ähnlichkeitspunkt 

 der Kreise k^, k.^ gehen, welcher für den ersten Wert von Tj, ein äußerer,. 



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