Zur analytischen Lösung 

 des Apollonischen Problems auf der Kugel. 



Von 



J. SOBOTKA. 



(Vorgelegt am 23. Februar 1912.) 



1. Betrachten wir auf einer gegebenen Kugel K vom Mittelpunkt 

 und Halbmesser, dessen Länge R wir gleich der Einheit setzen, zunächst 

 zwei beliebige Kreise ky, Ä",, deren sphärische Mittelpunkte wir mit Sj, S^, 

 sphärische Halbmesser mit t\, r, bezeichnen. 



Eine beliebige Ebene R, welche die beiden Kreise in den Punkten A^, 

 resp. A„ berührt, schneidet die Kugel im Kreise k, der die gegebenen Kreise 

 Äi, ^2 gleichfalls in A-^ und A^, berührt. Bezeichnen wir weiter mit S den 

 sphärischen Mittelpunkt von k. Die Gerade OS schneidet die Ebene R 

 im gewöhnlichen Mittelpunkt K des Kreises k. Setzen \vir ferner 

 <J A.KA., = (j)j2 und führen durch die zu R parallele Ebene, welche die 

 Kugel im Kreise m schneiden möge. 



Die in den Ebenen SAfi, SAfi gelegenen Großkreise der Kugel 

 schließen den Winkel qpj, ein; ihre Schnittpimkte mit }n, durch welche 



die auf ihnen liegenden Bogen SS-^, SS^ auf ,c- ergänzt werden, sollen mit 



Mx resp. Mn bezeichnet werden, und es werde auf ihnen A-JM-^ = AJ!^!^ = a 

 gesetzt; ist d^.^ die sphärische Entfernung der Punkte A-^, Ao, so ergibt der 

 auf das sphärische Dreieck v4i.4.,S angewendete Kosinussatz 



cos d-yo = sin^ a H- -cos^ a cos cp^^ 

 oder 



sin^-^ :^ cos^ a sin^-^. (1) 



Die sphärische Entfernung f/j, der Mittelpunkte Sj, S.^ bezeichnen 

 wir als Zentraldistanz beider Kreise k-^, k^; drücken wir dieselbe aus dem 

 sphärischen Dreieck SjSSj aus, so wird 



cos rfjo = cos {-r~ i\— ajcosl^ — /'o— « ) + sin ( ^ — Vj— « jsiii ( -^ — 1'2~ " j^os g^j, > 

 aus welcher Gleichung folgt 



Bulletin international. XVII. 



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