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schaftlicher Punkt. Ihr Tangentenwinkel in L ist dem Winkel der 

 Ebenen KßL, KX>L gleich. Die sphärischen Mittelpunkte bestimmen mit 

 L das Dreieck S-ßJ^ auf der Kugel, aus welchem sich ergibt 



cos (fj2 = co% i\ COS r^ + sin i\ sin r.. cos &^2> 



aus welcher Gleichung durch Umformung folgt 



;„2 '^2 



sin 



2 



• sin 



2 '1 



sin i\ sin r.^ sin^ — p . 



so daß wir mit Rücksicht auf (3) erhalten 



sin^^-^ = tgr^tgr,sin^^, 



(8) 



imd die Gleichung (6) gibt den zum Satze von Darboux analogen, auf die 

 Kugel übertragenen Satz von den Winkeln, unter denen sich vier Kreise 

 auf der Kugel schneiden, welche einen fünften Kreis berühren, nämlich 



oder 



• 2 ®I2 



sin^ ^ , 



■2 A4 



sni' 



2 '-^12 



suv 



sin- 



■ ®1> • ©34 



sin -^ stn ~ . 



C") 



2 ^2? 



2 



^24 





2 ^13 



Sin 



Sin- -^ , 



sm 



2®34 



& 



; Stil -^ sin -^ 



,2 ®14 



• 2®24 



snr —^ 



sm 



2®34 



= 0. 



■ ®.11 • ©24 



sm ~ sm —^ 



(9) 



Dieser Satz folgt freilich auch unmittelbar aus dem von Darboux 

 durch Inversion der Kugel in eine Ebene. 



5. Reduziert sich einer von den Kreisen im Art. 3, z. B. k^ auf 

 einen Punkt P, dann ist die Ebene des Kreises ku eine die Gerade PO 

 enthaltende Berührungsebene an den Kegel, welcher ki aus projiziert; 

 ist Ni ihr Berührungspunkt mit kt, dann ist tu oder ti kurzweg die sphä- 

 rische Entfernung der Punkte P, Ni, und iiu = PNi. So erhalteir wir aus 

 (6) und (7) die Darstellung der Lage eines beliebigen Punktes auf dem 

 Kreise k, welcher drei gegebene Kreise /rj, k.,, k^ auf der Kugel K 

 berührt. 



Dadurch werden wir zur Lösung der Aufgabe geführt: 



