18.5 



SI 



"IV7±^'"%'Vi±^'"TV7='^- (15) 



Dieser Kegel verbindet also das gesuchte Apollonische Kreispaar. 



8. Die Berührungspinikte der Kreise dieses Paares mit den Kreisen 

 ^1, k.,, k^ erhalten wir, wenn wir in die Gleichung (14) oder irgend eine 

 von den folgenden R^ = 0, resp. i?^ = ^ "der R^ = setzen. So erhalten 

 wir im ersten Falle 



^2 -^3 • i) ''12 ■ •> ks 



W^'- W^ = "" -2'- """li'' (16) 



oder 



weshalb 



sin^ ^ 

 siir^ 



■ 2 k" 

 sur -jj 



(Gfi^PO) = (OPG3G.) =-- ^ 



2 



Ist rik die Schnittgerade der Ebenen Rt = 0, R/, = 0, welche wir 

 Icurz Ri, Rj bezeichnen, so folgt weiter 



(R2, R3, r.^P, r.y,0) = s/«2 ^2 : sin^ ^' . 



Die Ebenen dieses Doppelverhältnisses schneiden R^ in den Geraden 

 ^12' ''13. ^1' ^i, wobei Oj den Punkt /-j, . rj, mit der Projektion des Punktes 

 nach Ri in der Richtung ^,3 bedeutet. Für diese- Geraden gilt gleichfalls 





(''12. fia, /j, Ol) = 



sm^ ^ 



wodurch die Gerade /j, welche k^ in den gesuchten Berührungspunkten 

 mit den Apollonischen Kreisen trifft, einfach festgestellt ist. 



Bezeichnen wir mit Ei den Pol der Ebene R; und //^ den Pol der 

 Ebene r.^^P in bezug auf die Kugel K ; der Pol Oj der Ebene ro^O liegt auf 

 EoE^ im Unendlichen; infolgedessen ergibt sich aus der Gleichheit 



{E^E^H^Oi) =- (>-i.2. '',3. ^. Ol), 

 -daß 



sin 



2 121 



EMi _ 2 nK 



21 



^3^1 .,-„2 '31 >'%i 



siii- _j 



