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Wn teilen also Eç, E^ durch den Punkt i/^ im Verhältnis --^^ , dann 



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 wird /e, ^■on der durch r.^ senkrecht zur Geraden OH^ gelegten Ebene in den 

 Berührungspunkten mit den Apollonischen Kreisen geschnitten. 



Diese Konstruktion kann man auch folgendermaßen anordnen: 



Durch die Pole E^, E.,, £3, ehr Ebenen, in denen die gegebenen Kreise 

 liegen, in bezng auf K führen wir drei parallele Strecken, ivelche auch dem 

 Sinne nach iui Verhiillnis der Größen n'\^, «\,, «^j,, stehen; die Endpunkte 

 dieser Strecken bcstiuunen ein Dreieck, laelches zum Dreieck E^ E., E.j per- 

 spektiv ist; trifft die Perspcktivitätsachse die Seiten E^ E,, E^ E^, E^ E^ in 

 den Punkten G,, G,, G^ und konstruieren ivir auf diesen Seiten die Punkte 

 //.,. /■/,, H.,. so dafi Gi El = El; Hi, so erhalten wir drei Punkte einer Ge- 

 raden h; alsdann schneidet die Gerade U, welche in der Ebene Ri senkrecht 

 zu OHi errichtet ivird, den Kreis ki in den gesuchten Berührungspunkten 

 der Apollonischen Kreise. 



Haben wir die Gerade k ermittelt, so können wir auch aus dem ge- 

 meinschaftlichen Punkte der Ebenen R^, Rj, R3 die Senkrechte q zur Ebene 

 Oh errichten; alsdann schneiden die Ebenen r^^q, r^^q, r^.^Ç die Kreise k.^, 

 kn, k^ in ihren Berührungspunkten nnt den gesuchten Apollonischen Kreisen. 



Sind Ui, Vi die Berührungspunkte mit h, dann schneiden sich die 

 Tangenten in diesen Punkten im Punkte .1/,:; die so erhaltenen Punkte 

 ilfj, M,, 3/3 liegen auf einer Geraden ni, und inUi ist die Ebene des 

 einen, niVi des andern gesuchten Kreises. 



9. Den Übergang zu dem analogen Problem in der Ebene liefert die 

 Gleichung (13); sie führt direkt zu einer Gleichung, M'elche der Gleichung 



(14) analog ist, wenn wir in dieser A'j statt -=~^ setzen, wobei /v; die 



Potenz des Punktes (x, y) in bezug auf den Kreis Ä',- mit der Gleichung 

 Ki = bezeichnet. Eür die Berührungspunkte der Apollonischen Kreise 

 beispielsweise mit Ä^ erhalten wir analog wie in (IG) die Beziehung 



K,:K, = t,^: t,i , 



wenn hier tik die Liingc der gemeinschaftlichen Tangenten zweier in k^ 

 und Ä'^ enthaltenen Zyklen bedeutet. Die letzte Gleichung besagt, daß 

 diese Berührungspunkte auf demjenigen Kreise des Büschels {k.,, k^) liegen, 

 dessen Mittelpunkt H^ die Entfernung der Mittelpunkte 52, S3 von k^ 

 mid .^3 im Verhältnis /'-j^ : t\^ teilt, so daß die Senkrechte, welche von Potenz- 

 zentrum der Kreise A, , k.., k^ auf die Verbindungsgerade des ^Mittelpunktes 

 .Sj von k^ mit H^ gefällt wird, den Kreis k^ in den gesuchten Berührungs- 

 punkten schneidet. Diese Konstruktion stinnnt mit der zu\-or für die 

 Kugel hergeleiteten überein, wenn wir hier die Punkte £",• mit den Mittel- 

 punkten Si zusammenfallen lassen. 



