Zur analytischen Behandlung von Apollonischen 

 und isogonalen Kreisen und Kugeln. 



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J. SOBOTKA. 



(\orgelegt am 23. :\rärz 1912.) 



1. Im folgenden sollen ausschließlich nur rechtwinkelige Koordinaten 

 gebraucht werden. Betrachten wir sogleich vier Kugeln Ki = {i = l, 

 2, 3, 4) mit den ^Mittelpunkten S; und Halbmessern r,- und setzen du, = 

 SiSk, Tik — dik^ — (;-; ip /-a)2. Für jede Kombinazion von Sphären, welche 

 durch die Kugeln Ki = gegeben sind, erhalten wir eine bestimmte 

 Kombinazion der Größen t,*, welche uns zu einem Kugelpaar K, K', 

 führen, dessen Kugeln die gegebenen vier Sphären berühren. Die analy- 

 tische Darstellung der entsprechenden Berührungspunkte wurde in einer 

 andern Arbeit mit Hilfe von bestimmten vier Geraden g,:, welche in den 

 Seiten des Tetraeders S^S^S^S, liegen, durchgeführt.*) So liegt z. B. 

 die Gerade gj in der Ebene So S^ S^ und schneidet die Kanten So S^, S^ Sj, 

 S4 5., in den Punkten G4, G,, G3, welche durch die Teilungsverhältnisse 



(5., 63 G,\ = "^ , (S3 Si G.,) = — ' , (S, s; G.) = ^ festgelegt sind. Die 



Tl3 t^U '^li 



durch das Potenzzentrum der Kugeln lu = auf die Ebene Sj g^ gefällte 

 Normale p^ schneidet di^ Kugel K^ = in den Punkten U-^, [//, in welchen 

 dieselbe von K und K' berührt wird. 



Bezeichnen {at, h, C;) die Koordinaten der Punkte S„ dann hat der 

 Punkt G^ die Koordinaten 



Tjo ß.2 Tj.! «3 Tja b, rj2 ^3 ''^13 ^2 '''VI ^3 



"^13 t\2 ■^IS ^^12 ■'^13 *12 



und der Punkt G^ die Koordinaten 



r,.fl3 — ■F^3^i4 r,j ^^g — T,,. ^1 ^13 ^3 — ^13 ^1 



■"^U ■fis ''^11 ^13 ^11 '^13 



*) Dieses Bulletin liU2. (. analytische Betrachtungen über Kugeln, welche 

 vier gegebene Kugeln berühren.) 



