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£;t = Gl + 2 (A — £i ;-i) R = 0. (7) 



Aus den Gleichungen (5) und (7) schließen wii": 



Die Potenzebenen dey Kugeln, welche vier gegebene Sphären isogonal 

 schneiden mit jeder von diesen, bilden ein^n Ebenenbüschel, ivelcher die Ähnlich- 

 keitsebene der Sphären als Elewent enthält. 



'). Die durch die Ebenen P; = und G, = bestimmten Tetraeder 

 sind perspektiv für i? = als Homologieebene. 



Die Gleichung (5) gibt folgende Konstnikzion der Kugeln K, K', 

 welche vier gegebene Sphären berühren. 



„Wir konstruieren die Potenzebene P^ = einer von den gegebenen 

 Sphären und der Orthogonalkugel Q = 0, schneiden diese Ebene mit der 

 Ähnlichkeitsebene R = der gegebenen Sphären in der Geraden r^; dann 

 schneidet die Senkrechte p^. die vom Mittelpunkt der Kugel Q = auf 

 die Ebene Sj r^ gefällt wird, die Sphäre A'j = in ihren Berührungs- 

 punkten mit den gesuchten Kugeln K, K' deren Mittelpunkte auf der von 

 auf R = gefällten Senkrechten liegen." 



Darin ist die bekannte Gergonnesche Lösung mitenthalten. Die 

 Kugel Q = können wir in der Konstrukzion durch eine beliebige Kugel 

 Qx = des Büschels (6) ersetzen, wodurch wir zu einer Lösung gelangen, 

 welche beispielsweise Pouche (in Nouvelles annales de math. 1892) ange- 

 geben hat, wenn \vir dabei die Eigenschaft benützen, daß Qi = irgend 

 zwei von den erwähnten vier Sphären in Kreisen schneidet, welche man 

 durch einen Kegel zweiter Ordnung verbinden kann, dessen ^Mittelpunkt 

 der Ähnhchkeitspunkt dieser Sphären ist. 



4. In der vorerwähnten Arbeit habe ich gezeigt, wie die Kugeln 

 K, K' mit Hilfe der Geraden gjo, in welcher sich die Ebenen Sg-^, Sg^ 

 schneiden, konstruiert werden können. Die dort angegebene einfache 

 Konstrukzion kann noch weiter dadurch vereinfacht werden, daß wir g^ 

 auf Grund der soeben abgeleiteten Eigenschaften konstruieren. 



Der Kürze halber wollen wir für die Bezeichnung der Flächen Ç = 0, . . . 

 uns der Symbole 0, . . . . bedienen. 



Wir ermitteln zunächst den Ähnlichkeitspunkt S^., der Sphären 

 ifj = 0, K.2 = 0, den wir auch schon zur Konstrukzion der Ahnlichkeits- 

 ebene R verwenden. Weiter konstiiiieren wir die Schnittgeraden r^, r^ 

 der Ebenen P^, P.j mit R, führen in R durch 5^2 eine willkürliche Gerade, 

 welche r^ in ZJ^, r^ in D.2 treffen möge. Alsdann schneiden sich die Geraden 

 Dj^Si, Do 5., in einem Punkte Djo, welcher berei+s der Geraden g^^. ange- 

 hört, wodurch diese, da sie auch noch durch den Punkt r^ . r., geht, bestimmt 

 ist. Die Richtigkeit der Konstrukzion geht daraus hervor, daß ZJ^o der 

 gemeinschaftliche Punkt der Ebenen [Si^r^), {S^r^), (D^ Z).^ S^ S.j) ist. 



Die einfachste Konstrukzion der Kugeln K, K' dürfte die folgende 

 sein. 



M'ir konstruieren R und legen durch und Sj die zu R normale Ebene, 



