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Für die Berühningskugeln K, K', flu welche cos a = :^l, sind die 

 analogen Entfernungen 



so daß die Beziehung besteht 



Q COS m (j^f q',) 1 



So To k 



(9) 



G. Dadurch ist auch die Konstrukzion von Kugelflächen, welche 

 vier gegebene Sphären unter demselben Winkel ca schneiden, gegeben. 

 Der Mittelpunkt S„ einer solchen Kugel liegt auf der Senkrechten z von 

 O auf R. Legen wir beispielsweise wieder durch den Punkt S^ und die 

 Gerade z die Ebene N, welche Ki im Kreise Äj, O im Kreise q und R in der 

 Geraden r schneidet. Es wird sich hier darum handeln, in der Ebene N 

 auf z den Punkt S„ als Mittelpunkt eines Kreises k^ zu ermitteln, welcher 

 dem Büschel (q r) angehört und k-^ unter dem Winkel a schneidet. Dazu 

 können wir die Relazion (9) benützen. 



Zu dem Zwecke konstruieren wir zunächst den Mittelpunkt S resp. 

 S' einer von den Kugeln K, K', beschreiben weiter um den Punkt U, 

 in welchem die Potenzgerade der Kreise q, k^ die Gerade r schneidet, als 

 Mittelpunkt den zu q und somit auch zu k^ orthogonalen Kreis tt. Der 

 Kreis Ä„ wird u gleichfalls orthogonal schneiden. Ist A ein solcher Schnitt- 

 punkt, dann ist 



A S^ ^ Po 

 Sa to cos CO 



Der Ort für solche Punkte, für welche die tangenzielle Entfernung 

 von » und die Entfernung von ein konstantes Verhältnis besitzen, ist 

 ein Kreis v, dessen Mittelpunkt auf U liegt und die Strecke U im 



Verhältnis , , " , — teilt. Diesen Kreis legen wir etwa so fest, daß wir 



Sd" cos-' 03 



zweimal zwei Längen, deren Verhältnis (jç, : jg cos œ ist, derart wählen, 

 daß sich der um Omit der zweiten Länge als Halbmesser beschriebene Kreis 

 und der um U als Mittelpunkt beschriebene Kreis, welcher auf den Tan- 

 genten von // die von ihren Berührungspunkten an gemessenen x^bschnitte 

 ausschneidet, welche gleich der ersten Länge sind, reell schneiden, 

 wodurch der Kreis v hinreichend bestimmt ist. Er schneidet z in zwei 

 Punkten, von denen jeder als Mittelpunkt S« des gesuchten Kreises k,,, 

 aufgefaßt werden kann. Die Senkrechte von U auf S,„ S\ schneidet k^ 

 in zwei Punkten von k,.,. Dadurch ist unsere Aufgabe gelöst. 



7. Andere Konstrukzionen verschaffen wir uns, wenn wir die ein- 

 zelnen hier auftretenden Fälle gesondert behandeln je nachdem, ob ;' den 

 Kreis q berührt, oder reell oder schließlich imaginär schneidet. 



