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1. Es möge r den Kreis q im Punkte /, berühren. Ans der Relation 



~ cos (0 = |5 folgt 



i bO 



(LOS,.,S) = — ^, (10) 



cos a 



welche Beziehnng ims diiekt die Konstrukzion von 5^ liefert. Wir be- 

 schreiben nm U den Kreis //, welcher hier durch L geht und schneiden u 

 durch eine Gerade, welche durch IJ geht und mit r den Winkel o) bildet. 

 Es sei 0' die Orthogonalprojekzion auf r eines so erhaltenen Schnitt- 

 punktes, so daB {LO'U) = ^'— . 



coso) 



Durch 5 führen wir die Parallele zu ;-, welche wir mit der Geraden 

 00' im Punkte V schneiden; alsdann trifft UV die Gerade z im gesuchten 

 Punkte 5„. 



Denn bezeichnet man mit Äx den unendlich fernen I''\mkt auf r, 



so ist — - = [LO'U] = [LO'URy.) = V{LO'URy-.). Schneiden wir 



cos Û) 



den soeben erhaltenen Strahlenbüschel mit der Geraden z, so erhidten wir 



vier Punkte i, 0, -S'*, S, deren Doppelverhaltnis gleich i'^t, weshalb 



^^ cos O) 



Sa^S*. Die Paare von Punkten S^, welche den \-erschiedenen Werten 

 von w entsprechen, bilden eine Involuzion, welche und L zu Doppel- 

 punkten hat. 



2. Die Gerade r schneide (/ in zwei reellen Punkten, \ün denen wir 

 einen mit M bezeichnen mögen. Da für Winkel o), (■)', für die cos lo = 



o q' 



— cos m' ist, bei sinngemäßer Bezeichnung die Beziehung -— = — -p- 



herrscht, so gilt für die Mittelpunkte 5,,,, SJ derjenigen zwei Kugeln, 

 welche die Sphären unter diesen Winkeln schneiden die Proporzion 



— , = — " und die Geraden MS,.,, M SJ sind demnach symmetrisch 



inbezug auf MO gelegen. 



Setzen wir -^OM.S„ = (jp, •^OMS = <Pq; aus der Gleichung 



(11) 



Fällen wir also \'on die Senkrechte auf MS, resp. MS', deren Länge 

 wir mit d bezeichnen und konstruieren die Länge d' = d cos co, dann 

 schneiden die Tangenten, welche man \'on M an den um als Mittelpunkt 



