203 



mit dem Halbmesser ci' beschriebenen Kreis legt, die Gerade : in den 

 Punkten 5,^, SJ und es ist ersichtlich, daß S«, 5„' ein Paar der Punkt- 

 involuzion auf z bilden, für welche und der Pol V \ün R inbezng auf Q 

 die Doppelpunkte sind. 



o. Die Ebene R schneidet die Kugel nicht reell. Es sei L der 

 Schnitt von z mit R und t sei der Halbmesser des Kreises v, welcher seinen 

 Mittelpunkt in L besitzt und q orthogonal schneidet. Ist M ein Schnitt- 

 punkt der Kreise v, Ä„, so setzen wir <^LNO = -^-. Alsdann folgt 

 aus den Dreiecken LXO, OA'5,,,, wenn wir wieder OL = c setzen, 



;- c '-^ ^ 



Bezeichnet Xg einen Schnittpunkt der Kreise k. v und setzen wir 

 <^ L A'qO = i,''q, so erhalten wir mit Hilfe von (9) die Relazion 



cot t!> = cot zl'g cos 10 . (12) 



Für den Kreis kj erhalten wir einen analogen Winkel é' , und da 

 cos Ol' = — cos 0), darum ist t + ip' = tc. Schreiben wir also dem Dreieck 

 LON den Kreis Vo, imi, so wird dieser v noch in einem Punkt A^' \-on der 

 Eigenschaft schneiden, daß die Tangente in ihm an v die Gerade z im 

 Mittelpunkte S„,' des Kreises Ä«' trifft. Bezeichnen wir Vg den dem Dreieck 

 1,0 A'u umgeschriebenen Kreis. Die Kreise Vq, v„ , ■ ■ ■ ■ bilden einen 

 Kreisbüschel und ihre gemeinschaftlichen Sehnen mit dem Kreise v bilden 

 einen zu ihm projektiven Strahlenbüschel. Der Scheitel dieses Strahlen- 

 büschels liegt auf :r; er ist der Pol V von R inbezug auf O, was daraus folgt, 

 daß die gemeinschaftliche Sehne der Kreise q, v auch dem Strahlenbüschel 

 angehört. Die Polare g von V inbezug auf v ist darum die durch zu r 

 gezogene Parallele. Darum schneidet die Senkrechte von L awi die ge- 

 memschafthche Sehne der Kreise v, v^ die Gerade g im Punkte G„ , welcher 

 dem Kreise v« angehört, und die Gerade G^, N ist Tangente des Kreises v 

 und trifft somit z im Punkte S,., . 



Aus dieser Betrachtung folgt hiernach die folgende Konstrukzion des 

 Kreises k,^ . 



,,Wir konstruieren zuerst den Punkt 5 und eine Tangente durch ihn 

 an V, welche die Gerade g im Punkte Gq des Kreises Vq schneidet; alsdann ist 

 der Winkel GgL entweder gleich iI-q oder n — t^. Wir haben also bloß 

 auf g die Strecke G„, = Gg . cos a zu konstruieren, imd es ist -^OGoiL 

 gleich i!<, resp. jt — li-, so daß G„, dem Kreise v,., angehört, weshalb die Tan- 

 genten von Gu an v die Gerade z in den Punkten S„, , 5,,,' treffen." 



Wir finden wieder, daß S,j , S,„' ein Paar in der Punktinvoluzion auf 

 z bilden, welche und V zu Doppelelementen hat. In jedem Falle wird 

 diese Involuzion 5„, 5„', .... von 5j durch eine Strahleninvoluzion pro- 

 jiziert, deren Doppelstrahlen S^O und die Verbindungsgerade des Punktes 



