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Sj mit dem Pol T^ \-on R inbezug auf Q sind; es sind also beispielsweise 

 •^1 ^' ^1 ^' harmonisch zu einander inbezug auf 5^ 0, Sj V. Davon könnten 

 wir bei der Konstrukzion der Kugeln K, K' gleichfalls Gebrauch machen. 



8. Die Potenzebene Pj der Kugeln 0, K^ ist die Polare von inbezug 

 auf die Kugel K^; die Gerade ^^ des Art. 3 schneidet P^ im Punkte Pj, 

 welcher von durch die Punkte C/j, f/j' in denen K^ die Gerade p^ schneidet, 

 harmonisch getrennt ist. Daraus folg\ daß die Gerade S-^V die Ebene P^ 

 in dem der Geraden ^^ angehörenden Punkte P^ schneidet. Es kann also 

 ^1 auch so konstruiert werden, daß man die Schnittgerade )\ von Pj mit 

 R ermittelt und von S^ die Normale auf die Ebene Or^ fällt, welche Pj im 

 Punkte Pj der gesuchten Geraden p^ trifft. Denn die Berührungsebenen 

 durch j\ an K^ sind \'on den Ebenen r^ und Pj harmonisch getrennt. 



Es seien Pa, P3, P4 die entsprechenden Punkte der analogen Geraden 

 P-2> Pa> Pi- Die Punkte Pi bilden ein Tetraeder, welches zu dem Tetraeder 

 5^535354 perspektiv liegt für V als Perspektivitätszentrum. Die Ebene der 

 Perspektivität ist R. Denn es geht beispielsweise die Verbindungsgerade 

 der Berühningspunkte U^, t/, von K mit den Sphären K^, IC durch deren 

 Ähnlichkeitspunkt S^.,; ebenso geht die Verbindungsgerade der Berührungs- 

 punkte t/j', U2' von Iv' durch Sj.j. Beide Geraden U-^ U^, U^' U.^' liegen 

 in der Ebene p^ p.{, die zu ihnen mit S-^^0 harmonische Gerade schneidet p^ 

 im Punkte P^, der mit harmonisch liegt zu den Punkten U-^^, U^' und />., 

 im Punkte Pg, der mit harmonisch liegt zu den Punkten C/g, U^; es geht 

 somit die Gerade P^P^ durch S^^, woraus folgt, daß die einander entspre- 

 chenden Kanten der Tetraeder S^S.S^S^. P^P.^P^P^ sich in der Ebene R 

 schneiden. 



Wenn wir also die Polaren des Punktes inbezug auf die Kreise kon- 

 struieren, in denen die Ebenen S, z die Kugeln K; schneiden, dann tiifft 

 die Transversale durch 5« zu den Geraden nu, fii diese in den Punkten 



P/.. P/. 



Allgemeiner sieht man, wenn Pj einen beliebigen Punkt auf p^ be- 

 deutet und wenn wir zum Tetraeder 5^ Sj Sj S4 ein perspektives Tetraeder 

 P^ Pj P3 P4 für R als Ebene und den Schnitt V von 5^ Pj mit z als Zentrum 

 der Perspektivität konstruieren, daß die Geraden p^, pg, p^ die Punkte 

 Po, Pg, P4 enthalten. Die Gerade p-^ enthält den Pol von R inbezug auf 

 Kj; lassen wir also Pj mit diesem Pole zusammenfallen, dann liegt V im 

 Unendlichen und P^, Pg, P4 sind die Pole von R inbezug auf die übrigen 

 Kugeln Ki, wie es durch die Gergonnesche Konstrukzion ausgedrückt wird. 



Interessant ist der Spezialfall, wenn das Tetraeder P^ P, P3 P4 in 

 ein vollständiges Viereck degeneiiert. Um zu erkennen, daß dieser Fall 

 möglich ist, ziehen wir zuerst zwei von den betrachteten Sphären in Erwä- 

 gung, beispielsweise die auf Kj und K2 liegenden. Diese Sphären liegen 

 zentrisch kollinear für ihren Ahnlichkeitspunkt ^j., als Zentrum und ihre 

 Potenzebene P,, als Ebene der KoUineazion. In dieser Kollineazion ent- 

 spricht der Potenzebene Pi der Kugeln Kj,0 die Potenzebene Pg der Kugeln 



