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Ko, Q, der Geraden p-^ die Gerade />.,, den Punkten U^, U^ , P, auf p^ ent- 

 sprechen die Punkte U^, U^ , P^ auf p2, wodurch die Projekti\-ität der ein- 

 ander entsprechenden Punktreilien auf diesen Geraden festgelegt ist. 

 Die durch Sj^^ gehende Ebene R schneidet P^ in der Geraden r-^, Pg in der 

 Geraden ;'2, welche einander gleichfalls in der Kollineazion zugeordnet sind. 

 Schneidet R die Gerade p^ im Punkte F^, die Gerade p^ im Punkte F^, so 

 sind auch f j, ^2 einander zugeordnet, woraus folgt, daß die Gerade jpjFg 

 durch 5j2 geht. Der Punkt 0, der den Reihen auf pj^ und p2 gemeinschaftUch 

 ist, entspricht ^ich selbst, da er in der Kollineazionsebene liegt. Die 

 Ebenen Sip-^, S^pn schneiden sich in z. und aus früherem geht hervor, 

 daß z Perspektivitätsachse der Strahlenbüschel Sj (0, U^, U/, Pj, . . .) 7-^;- 



52 {0, Uo, Uo', P-2 . . .) ist; darum schneiden sich auch die Geraden S^ F^, 

 .?o Po ii'^ einem Punkt F auf :;. Wenn weiter P3, Pj die Spurpunkte der 

 Geraden />,, p^ in R sind, so schheßen \\ir daraus, daß auch die Geraden 



53 P3, S^ P4 durch den Punkt F gehen, da ja die Geraden S\ P^, S^ Pg und 

 ebenso Sj Pj, 5^ F^ sich auf z schneiden. Wenn wir somit das Tetraeder 

 5i S.y S5 S4 aus dem Punkte F in die Ebene R projizieren, so erhalten wir das 

 Viereck P^ Pj P3 P4, welches zu dem Tetiaeder perspektiv ist; die Ver- 

 bindungsgeraden seiner Ecken Pj, P,, P-, P4 mit sind die Geraden p^, 



Pi. /'s. Pi- 



Daraus erkennen wir, daß die Konstrukzion der Berührungspunkte 

 des Kugelpaars K, K' mit den gegebenen vier Sphären auch wie folgt 

 angeordnet werden kann. 



Wir konstruieren den Punkt 0, die Ebene R und deren Pol Pj* 

 inbezug auf Kj, dann ist p^ = OP^*; weiter schneiden wir /), mit R in P^ 

 und \-erbinden Pj mit S4. Die Verbindungsgerade trifft die Senkrechte z 

 \-on auf R im Punkte P, \-on dem wir auch S.^, S3, S4 in die Ebene R 

 nach Pj, P3, P4 projizieren; alsdann ist /j.^ = F F. 2; ps = F F^, p^ = PP4. 



Dieses Ergebnis geht auch direkt aus der \'orangehenden Betrachtung 

 hervor. Die Spuren der Seiten des Tetraeders S^ S.^ S^ S4 bilden ein vollstän- 

 diges Vierseit, dessen Ecken die Spurpunkte seiner Kanten sind, während 

 die Spurpunkte Pj, P^, P3, P4 der Geraden p^, po, p^, p^ ein vollständiges 

 Viereck bilden; das Vierseit ist dem Viereck eingeschrieben und dieses 

 jenem umgeschrieben. Beide zusammen bilden eine Hessesche Konfi- 

 gurazion \-on zehn Punkten und zehn Geraden; auf jeder Geraden liegen 

 drei Punkte und durch jeden Punkt gehen drei Gerade derselben. Aus 

 dieser Eigenschaft folgt, daß man das Viereck als Zentralprojekzion des 

 Tetraeders S, 5^ S3 S,^ von einem bestimmte» Punkt P betrachten kann. 

 Da die Geraden pi in den Ebenen S,- z liegen, wei'den die Geraden Si F, 

 die Gerade z schneiden und da sie nicht in einer Ebene liegen, müssen sie 

 sich in einem Punkte auf z schneiden, welcher also mit P identisch ist. 



'.I. Zu demselben Ergebnis führt auch die Rechnung. 



Zu den Zwecke wählen wir R zur Koordinatenebene (.v y) und die 



