s° ^^1^ - e^ - «;- + 2 Ti s + /) = c;- - r,\ 



Diidurcli evhalti'ii wir für dm Punkt F 



-1 = 71^- (12) 



Weil die Ebene xy Ähnlichkeitsebene der gegebenen Sphären ist. 

 darum bestellt die Beziehung 



-iL = A 



so daß Zi = Zy 



Der Punkt F ist also dasjenige Zentrum, aus welchem sich die Punkte 

 Si nach F, projizieren. Der Nenner c^ — y^ ist die Potenz n des Punktes 

 fj = (ßj, o) inbezug auf den Kreis k^. Bezeichnen wir mit d^ die Entfernung 

 des Poles der Ebene R in bezug auf Kj von dieser Ebene, so ist die Potenz n 

 gleich c^d^. und darum folgt aus (12) 



c d,- 



welche Gleichheit die Konstrukzion des Punktest mit Hilfe der Geraden />, 



liefert, wie wir sie zu\-or abgeleitet haben. 



Einfach können wir den Punkt F direkt folgendermalîen ableiten: 



In der Ebene S^z ziehen wir in k^ den Durchmesser AB, welcher 



senkrecht auf z steht, und verbinden seine Endpunkte A, B mit E^; vom 



Punkte fällen wir die Senkrechte auf iiiS^ und von ihrem Fußpunkte 



die Senkrechte auf E-^ A, welche £, B im Punkte C treffen möge, und deren 



gemeinschaftlichen Punkt mit E^ A wir durch D bezeichnen wollen, ohne 



ilm jedoch in der Konstrukzion selbst zu benützen. Der Fußpunkt der 



Senkrechten von C auf z ist der gesuchte Punkt F. 



Denn schneidet CF die Gerade fj 5\ im Punkte /,. und setzen wir 



<^ 5i fj ß = ()n, so ist 



,, . ,, ^ E^D.Cdsa e cos- cp c c,'- c 



E-^L = E^C cos (fj = - — -— - = — 5 ^-r- = t = —^ rr , 



cos2<p cos^fp — sin-tp i\- c^- — 1\- 



-^ 



so daß tatsächlich E^L = Tj. 



Übrigens folgt ohne Rechnung die Richtigkeit dieser Konstrukzion 

 daraus, daß die Senkrechte von B auf E-^ A die Gerade S^ E^ im Pol von R 

 inbezug auf K, schneidet, und daß das Verhältnis der Entfernung dieses 

 Poles von 5^ zur Entfernung F gleich ist einerseits q : r,, andererseits tf, ; e. 



Dadurch gestaltet sich die Lösung des Problems der Berührungs- 

 kugeln mit Hilfe des Punktes F sehr einfach und leich( durchführbar. 



Aus den hier entwickelten Betrachtungen und Konstrukzionen gehen 

 die entsprechenden für das Problem der Apollonischen und isogonalen 

 Kreise in der Ebene als Spezialfälle direkt herxor, und es wäre überflüssig 

 dieselben hier besonders diuchzuführen. 



