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2. Der ebenangeführte Ausnahmsfall kann indes nicht eintreten, 

 wenn der betrachtete Flächenpunkt P reell ist. 



Weil hier derselbe Wert k gleichzeitig den Gleichungen 



iV/fe2 + 2MÄ+L = 0, 

 G/fe2 + 2F Ä + £^ = 0, 



genügt, darum ist eine Haupttangente t der Fläche in P eine isotropische 

 Gerade. Wenn nun die Ausnahme m jedem gewöhnlichen Punkte der 

 Fläche Platz greifen sollte, dann fiele für den zu P auf t unendlich benach- 

 barten Punkt Pj eine Haupttangentenrichtung wieder mit einer isotro- 

 pischen Geraden zusammen, welche in der dem Punkte Pj zugehörigen 

 Berührungsebene der Fläche liegen müßte; das müßte aber die Gerade t 

 selbst als Schnitt der Berührungsebenen in P und P^ sein. Denn die 

 Schnittgerade dieser Ebenen ist die in der Indikatrix des Punktes P zu 

 t = PPi konjugierte Gerade; da aber t eine Haupttangente ist, darum 

 fällt die ihr konjugierte Gerade mit ihr zusammen. Schreiten wir so fort 

 auf der Geraden t, so erkennen wir, daß sie ganz auf der Fläche enthalten 

 sein muß. 



So gelangen wir zu einem geometrischen Beweis des Satzes, daß 

 eine Fläche, in deren Punkten Projektivität zwischen den Normalschnitten 

 und ihren zugehörigen Krümmungsmittelpunkten herrscht, eine Schar von 

 isotropischen Geraden enthält. 



Wenn in einem gewöhnlichen Punkte P die besprochene Ausnahme 

 eintreten soll, so muß für seine Parameter die Gleichung bestehen 



{GL—EN)^ = i[EM — FL){FN — G M) = 0,*) (2) 



und die Gleichung (1) artet in die folgende Gleichung aus 



{N k-^M ^^ M^ — LN) Q — [Gk +F -\- ^ F^ — E G) = 0, (.'5) 



wo die Quadratwurzeln willkürlich positiv oder negativ sein können. 



Führen wir jetzt als Parameterkurven die Minimalkurven der 

 Fläche ein und setzen voraus, daß die Tangente in P zur Minimalkurve 

 V = konst. gleichzeitig eine asymptotische Tangente ist. Da wird vor 

 allem £ = G = 0, P + 0. Die Richtungsparameter der iso tropischen Ge- 

 raden und der asymptotischen Kurven im Punkte P, die aus den Glei- 

 chungen 



Gk^ + 2Fk + E = 0, Nk^ + 2Mk + L = 



hervorgehen, sind allgemein durch die Ausdrücke gegeben 



") Cf. G. Scheffers: Einführung in die Theorie der Flä.hen, 1902. S. 114. 



