In P haben hier k und k als einen Wert den Richtungsparameter 

 der Kurve v = konst., also ^ = 0. Es muß also für diesen Wert sowohl 

 der Zähler in dem Ausdruck für k als auch in dem Ausdruck für k gleich 

 Null sem, woraus folgt, daß in beiden Fällen die Wurzel positiv zu nehmen 

 ist, und deshalb ist für die Tangenten an ii und an die zweite durch P 

 gehende asymptotische Kurve die Quadratwurzel negativ zu nehmen. 

 Die Relazion (2) reduziert sich hier auf L N = 0. Die Richtungspara- 

 meter für die soeben erwähnten Tangenten werden somit sein 



— 2F _ —2M 



k = y:, = 00, k = 



N ■ 



Da diese Werte nur in einem Kreispunkte zusammenfallen könnten, 

 darum ist N ^ 0, weshalb Z, = sein muß. 



Dieses Resultat folgt unmittelbar, wenn wir die Beziehung (1) speziell 

 inbezug auf die Minimalkurven als Parameterlinien ausdrücken. Setzen 

 wir also in (1) £ = 0, G = 0, so erhalten wir einen gemeinschaftlichen 

 Faktor k, also ^ = nur dann, wenn gleichzeitig L = 0. 



Die Gleichung (3) geht alsdann in die einfachere Gleichung über 



{N k + 2AT) ()^2F = 0, 



oder 



M F 



Äp + 2-^y-2-^ = 0. (4) 



2M — 

 Für p = ist Â = oo, für p = oo ist Ä = ^ = k. 



Wenn nun eine reelle durch einen reellen gewöhnlichen Punkt P 

 gehende Ebene, welche zur Fläche in P normal ist, die Fläche schneidet, 

 so wird ihr Schnitt mit der Fläche einen reellen Krümmungshalbmesser 

 besitzen. Wenn also die Projektivität (4) für einen solchen Punkt gelten 

 sollte, müßten durchweg reellen Schnitten reelle Krümmungsmittelpunkte 

 angehören und umgekehrt. Durch die Gleichung (4) würden aber den 

 reellen Werten p = 0, p = oo imaginäre Schnitte zukommen, welche, den 

 Werten k — ao , k = k zugeordnet sind; denn wenn in einem reellen Punkte 

 P eine Haupttangente imaginär ist, so ist die zweite zu ihr konjugiert 

 imaginär. Also für einen gewöhnlichen reellen Punkt kann die Relazion 

 (4) nicht bestehen, und für singulare Punkte der Fläche verliert die Glei- 

 chung (1) überhaupt ihre Bedeutung. 



3. Wir können umgekehrt erkennen, daß, wenn in einem reellen 

 Punkte P einer reellen Fläche zwischen den Normalschnitten und ihren 

 Krümmungsmittelpunkten eine projektive Beziehung besteht, dieser Punkt 



