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Suchen wir nun für den Punkt P den Krümmungsmittelpunkt eines 

 beliebigen Normalschnittes, dessen Ebene durch Z geht. 



Schneidet diese Ebene. (X Y) in der Geraden X' , so drehen wir das 

 Koordinatensystem um Z \\n\ den Winkel {X, X') = ra, und leiten die 

 Gleichung der Fläche A in diesem gedrehten rechtwinkeligen Koordinaten- 

 system P (Ä'', Y' , Z) ab. Diese Gleichung wird 



{x^ -f y2 -\- z^) [a z — b x cos w + b y sin w) + 

 + {a^ -\- b^) [x sin ta + }' cos m) 2 = 0. 



Setzen wir in dieser Gleichung y = 0, so erhalten wir die Gleichung 



der Kurve, in welcher die Fläche von der Ebene (Ä" Z) geschnitten wird; 



also 



[x^ + z^) {a z — b x cos a) + {a^ + b^) x z sin a = 0. (G') 



Dies ist eine Kurve dritter Ordnung, welche P zum Doppelpunkt hat 

 und in ihm von den Geraden x = 0, z — berührt wird. Ein beliebiger 

 Kreis, welcher mit dieser Kurve in P die gemeinschaftliche Tangente 

 2 = besitzt, hat die Gleichung 



.x2 + 22 — 2 2/ = 0; 



er hat mit dieser Kurve einerseits seine unendlich fernen Punkte, anderer- 

 seits zwei unendlich nahe Punkte auf A'' gemeinschaftlich; die übrigblei- 

 benden zwei Schnittpunkte liegen auf der Geraden 



2 r {a z — b X cos co) + («" + b^) x sin ra = 0, 

 oder 



[ — 2 r b cos « + («2 -|- b') sni co] x -\- 2 r a z = 0. (7) 



Wir sehen, daß noch einer von diesen zwei Schnittpunkten nach P 

 fällt, und zwar als Schnitt des zweiten Zweiges der Kurve, und der übrig- 

 bleibende Schnittpunkt liegt auf der Geraden (7). Oskulazion dieses 

 Kreises mit der Kurve tritt dann ein, wenn wir r so wählen, daß der übrig- 

 bleibende Schnitt mit der Geraden ^7) gleichfalls in den Punkt P fällt, 

 was eintritt, wenn wir 



annehmen. 



Dadiirch kommen wir zu dem Resultat, daß der Büschel von Normal- 

 schnitten, welche durch Z gelegt werden und die Reihe ihrer zugehörigen 

 Krümmungsmittelpunkte gleichfalls projektiv sind, wobei die Projekti- 

 vitätsbeziehung durch die Gleichung (8) oder 



2br — {a^ + b^) tg od = 



gegeben ist, so daß der Ebene XZ der Punkt P und der Ebene YZ der 

 unendlich ferne Punkt von Z entspricht. 



